Resolva:
\int x^{3} \sqrt{1-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
\int x^{3}\sqrt{1-x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A integranda é x^{3}\sqrt{1-x^{2}}.
  • Queremos uma função F(x) tal que F'(x)=x^{3}\sqrt{1-x^{2}}, mais a constante de integração.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática):
A expressão tem \sqrt{1-x^{2}}. Uma técnica padrão é fazer uma substituição que transforme esse radicando em uma nova variável mais simples. Vamos definir uma nova variável u tal que a parte sob a raiz vire algo como u. A substituição mais direta é
u=1-x^{2}.
Explicando a ideia da substituição: a variável u representa o conteúdo da raiz; quando substituímos, a raiz fica apenas u^{1/2}, e o diferencial du nos relaciona com x\,dx, o que permite eliminar o x\,dx presente no integrando. A substituição transforma a integral numa que envolve potências de u, que são fáceis de integrar usando a regra do poder: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 3

Aplicando a substituição e reescrevendo a integral passo a passo:
Definimos
u=1-x^{2}.
Derivando, obtemos
du = -2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
Além disso, observe que x^{3}=x^{2}\cdot x e x^{2}=1-u. Assim
x^{3}\,dx = x^{2}\cdot x\,dx = (1-u)\left(-\frac{1}{2}\,du\right).
A raiz fica \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{u}=u^{1/2}. Portanto a integral transforma-se em
\int x^{3}\sqrt{1-x^{2}}\,dx = \int (1-u)\,u^{1/2}\left(-\frac{1}{2}\,du\right).
Isolando a constante:
\int x^{3}\sqrt{1-x^{2}}\,dx = -\frac{1}{2}\int (1-u)u^{1/2}\,du.

Passo 4

Simplificar o integrando em u e integrar usando a regra do poder:
Primeiro expandimos o integrando em u:
(1-u)u^{1/2}=u^{1/2}-u^{3/2}.
Logo
-\frac{1}{2}\int (1-u)u^{1/2}\,du = -\frac{1}{2}\int\bigl(u^{1/2}-u^{3/2}\bigr)\,du.
Agora aplicamos a regra do poder termo a termo. Para u^{1/2} temos \int u^{1/2}\,du=\dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}. Para u^{3/2} temos \int u^{3/2}\,du=\dfrac{u^{5/2}}{5/2}=\dfrac{2}{5}u^{5/2}. Assim
-\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}u^{3/2}-\frac{2}{5}u^{5/2}\right)+C.

Passo 5

Simplificar constantes e voltar a x:
Multiplicando o fator -\tfrac{1}{2} pelos termos internos:
-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}u^{5/2} + C = -\frac{1}{3}u^{3/2} + \frac{1}{5}u^{5/2} + C.
Substituindo u=1-x^{2} de volta, a primitiva é
-\frac{1}{3}\bigl(1-x^{2}\bigr)^{3/2} + \frac{1}{5}\bigl(1-x^{2}\bigr)^{5/2} + C.

Passo 6

Verificação rápida (como checar na prova):
Derivando a expressão obtida e usando a regra da cadeia deve-se recuperar x^{3}\sqrt{1-x^{2}}. A verificação passo a passo:
\frac{d}{dx}\!\left[-\frac{1}{3}(1-x^{2})^{3/2}\right]=x(1-x^{2})^{1/2}
e
\frac{d}{dx}\!\left[\frac{1}{5}(1-x^{2})^{5/2}\right]=-x(1-x^{2})^{3/2}.
Somando as duas contribuições obtemos
x(1-x^{2})^{1/2}-x(1-x^{2})^{3/2}=x^{3}(1-x^{2})^{1/2},
que é exatamente a integranda, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{3}\bigl(1-x^{2}\bigr)^{3/2}+\dfrac{1}{5}\bigl(1-x^{2}\bigr)^{5/2}+C

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