Resolva:
Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas:
- A integranda é
. - Queremos uma função
tal que , mais a constante de integração.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática):
A expressão tem . Uma técnica padrão é fazer uma substituição que transforme esse radicando em uma nova variável mais simples. Vamos definir uma nova variável
tal que a parte sob a raiz vire algo como
. A substituição mais direta é
A expressão tem
Explicando a ideia da substituição: a variável
representa o conteúdo da raiz; quando substituímos, a raiz fica apenas
, e o diferencial
nos relaciona com
, o que permite eliminar o
presente no integrando. A substituição transforma a integral numa que envolve potências de
, que são fáceis de integrar usando a regra do poder: para
,
Passo 3
Aplicando a substituição e reescrevendo a integral passo a passo:
Definimos
Definimos
Derivando, obtemos
Além disso, observe que
e
. Assim
A raiz fica
. Portanto a integral transforma-se em
Isolando a constante:
Passo 4
Simplificar o integrando em
e integrar usando a regra do poder:
Primeiro expandimos o integrando em :
Primeiro expandimos o integrando em
Logo
Agora aplicamos a regra do poder termo a termo. Para
temos
. Para
temos
. Assim
Passo 5
Simplificar constantes e voltar a
:
Multiplicando o fator pelos termos internos:
Multiplicando o fator
Substituindo
de volta, a primitiva é
Passo 6
Verificação rápida (como checar na prova):
Derivando a expressão obtida e usando a regra da cadeia deve-se recuperar . A verificação passo a passo:
Derivando a expressão obtida e usando a regra da cadeia deve-se recuperar
e
Somando as duas contribuições obtemos
que é exatamente a integranda, confirmando que a primitiva está correta.