Resolva \frac{y}{x} \frac{d y}{d x}=\frac{e^{\wedge}}{\ln y} sujeito a y(1)=1.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
\frac{y}{x}\,\frac{dy}{dx}=\frac{e^{\wedge}}{\ln y}\quad\text{com}\quad y(1)=1.
Há uma notação ambígua em e^{\wedge}. Vou interpretar que isso significa e^{x} (é a interpretação mais natural: exponencial em x). Então passo a trabalhar com a equação
\frac{y}{x}\,\frac{dy}{dx}=\frac{e^{x}}{\ln y},
e a condição inicial é y(1)=1. O objetivo é encontrar a solução y(x) (ou uma forma implícita dela) que satisfaça a equação e a condição.

Passo 2

Separar variáveis (colocar termos com y de um lado e termos com x do outro) — explico a ideia rapidamente: se a equação puder ser escrita como f(y)\,dy = g(x)\,dx, então integramos cada lado separadamente. Começo manipulando algebricamente a equação:
Multiplico ambos os lados por x:
y\,\frac{dy}{dx}=\frac{x e^{x}}{\ln y}.
Multiplico ambos os lados por \ln y:
y\ln y\,\frac{dy}{dx}=x e^{x}.
Agora interpreto \frac{dy}{dx}\,dx=dy e escrevo na forma separada:
y\ln y\,dy = x e^{x}\,dx.
Agora está separado: funções de y à esquerda e funções de x à direita. Próximo passo: integrar ambos os lados.

Passo 3

Vamos integrar cada lado. Escrevo:
\int y\ln y\,dy = \int x e^{x}\,dx.
Vou calcular cada integral com calma.
Cálculo da integral à esquerda \displaystyle \int y\ln y\,dy.
Usamos integração por partes. Lembrete da fórmula (fórmula que sempre uso): se \displaystyle \int u\,dv então \displaystyle \int u\,dv = u v - \int v\,du. Aqui escolho
u=\ln y\quad\Rightarrow\quad du=\frac{1}{y}\,dy,
dv = y\,dy\quad\Rightarrow\quad v=\frac{y^{2}}{2}.
Aplicando a fórmula:
\int y\ln y\,dy = \left(\ln y\right)\left(\frac{y^{2}}{2}\right) - \int \frac{y^{2}}{2}\cdot\frac{1}{y}\,dy.
Simplificando a integral restante:
\int y\ln y\,dy = \frac{y^{2}}{2}\ln y - \int \frac{y}{2}\,dy = \frac{y^{2}}{2}\ln y - \frac{1}{2}\cdot\frac{y^{2}}{2} = \frac{y^{2}}{2}\ln y - \frac{y^{2}}{4}.
Cálculo da integral à direita \displaystyle \int x e^{x}\,dx.
Também uso integração por partes. Escolho
u=x\quad\Rightarrow\quad du=dx,
dv=e^{x}dx\quad\Rightarrow\quad v=e^{x}.
Então
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} = e^{x}(x-1).

Passo 4

Igualo as integrais e acrescento a constante de integração C:
\frac{y^{2}}{2}\ln y - \frac{y^{2}}{4} = e^{x}(x-1) + C.
Agora uso a condição inicial y(1)=1 para determinar C. Substituo x=1 e y=1:
\frac{1^{2}}{2}\ln 1 - \frac{1^{2}}{4} = e^{1}(1-1) + C.
Calculando os termos: \ln 1 = 0, então a esquerda é 0 - \tfrac{1}{4} = -\tfrac{1}{4}. A direita é 0 + C. Portanto
C = -\frac{1}{4}.

Passo 5

Substituo C na expressão geral para ter a solução final (implícita):
\frac{y^{2}}{2}\ln y - \frac{y^{2}}{4} = e^{x}(x-1) - \frac{1}{4}.
Posso multiplicar tudo por 4 se quiser uma forma sem frações:
2y^{2}\ln y - y^{2} = 4e^{x}(x-1) - 1.
Observação final didática: essa expressão é uma solução implícita F(x,y)=0. Não é possível isolar y em termos de funções elementares simples porque aparece o termo y^{2}\ln y. Para a prova, lembrar: solução por separação de variáveis, integração por partes quando aparece produto conveniente, aplicar condição inicial para achar a constante. Boa — completamos!

Resposta

\frac{y^{2}}{2}\ln y - \frac{y^{2}}{4} = e^{x}(x-1) - \frac{1}{4}

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