Resolva
sujeito a
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
Há uma notação ambígua em
. Vou interpretar que isso significa
(é a interpretação mais natural: exponencial em
). Então passo a trabalhar com a equação
e a condição inicial é
. O objetivo é encontrar a solução
(ou uma forma implícita dela) que satisfaça a equação e a condição.
Passo 2
Separar variáveis (colocar termos com
de um lado e termos com
do outro) — explico a ideia rapidamente: se a equação puder ser escrita como
, então integramos cada lado separadamente. Começo manipulando algebricamente a equação:
Multiplico ambos os lados por
:
Multiplico ambos os lados por
:
Agora interpreto
e escrevo na forma separada:
Agora está separado: funções de
à esquerda e funções de
à direita. Próximo passo: integrar ambos os lados.
Passo 3
Vamos integrar cada lado. Escrevo:
Vou calcular cada integral com calma.
Cálculo da integral à esquerda
.
Usamos integração por partes. Lembrete da fórmula (fórmula que sempre uso): se
então
. Aqui escolho
Aplicando a fórmula:
Simplificando a integral restante:
Cálculo da integral à direita
.
Também uso integração por partes. Escolho
Então
Passo 4
Igualo as integrais e acrescento a constante de integração
:
Agora uso a condição inicial
para determinar
. Substituo
e
:
Calculando os termos:
, então a esquerda é
. A direita é
. Portanto
Passo 5
Substituo
na expressão geral para ter a solução final (implícita):
Posso multiplicar tudo por
se quiser uma forma sem frações:
Observação final didática: essa expressão é uma solução implícita
. Não é possível isolar
em termos de funções elementares simples porque aparece o termo
. Para a prova, lembrar: solução por separação de variáveis, integração por partes quando aparece produto conveniente, aplicar condição inicial para achar a constante. Boa — completamos!