Sem resolver, classifique cada uma das seguintes equações como: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulli, Ricatti ou Clairaut.
(a) \frac{d y}{d x}=\frac{1}{y-x}
(b) \frac{d y}{d x}=\frac{x-y}{x}
(c) \left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+2 y=2 x \frac{d y}{d x}
(d) \frac{d y}{d x}=\frac{1}{x(x-y)}
(e) \frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}+y}{x^{2}+x}
(f) \frac{d y}{d x}=4+5 y+y^{2}
(g) y d x=\left(y-x y^{2}\right) d y
(h) x \frac{d y}{d x}=y e^{x / y}-x
(i) x y y^{\prime}+y^{2}=2 x
(j) 2 x y y^{\prime}+y^{2}=2 x^{2}
(k) y d x+x d y=0
(1) \left(x^{2}+\frac{2 y}{x}\right) d x=\left(3-\ln x^{2}\right) d y
(m) \frac{d y}{d x}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1
(n) \frac{y}{x^{2}} \frac{d y}{d x}+e^{2 x^{3}+y^{2}}=0
(o) y=x y^{\prime}+\left(y^{\prime}-3\right)^{2}
§ y^{\prime}+5 y^{2}=3 x^{4}-2 x y

Passo 1

O enunciado pede: para cada uma das equações dadas, indicar qual é a classificação adequada entre as opções: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulli, Riccati ou Clairaut.
As equações fornecidas são (repetidas aqui para clareza):
(a) \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1}{y-x}
(b) \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x-y}{x}
(c) \left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}+2 y=2 x \dfrac{d y}{d x}
(d) \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1}{x(x-y)}
(e) \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y^{2}+y}{x^{2}+x}
(f) \dfrac{d y}{d x}=4+5 y+y^{2}
(g) y\, d x=\left(y-x y^{2}\right) d y
(h) x \dfrac{d y}{d x}=y e^{x / y}-x
(i) x y y^{\prime}+y^{2}=2 x
(j) 2 x y y^{\prime}+y^{2}=2 x^{2}
(k) y\, d x+x\, d y=0
(l) \left(x^{2}+\dfrac{2 y}{x}\right) d x=\left(3-\ln x^{2}\right) d y
(m) \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+1
(n) \dfrac{y}{x^{2}} \dfrac{d y}{d x}+e^{2 x^{3}+y^{2}}=0
(o) y=x y^{\prime}+\left(y^{\prime}-3\right)^{2}
§ y^{\prime}+5 y^{2}=3 x^{4}-2 x y

Passo 2

Pequeno resumo de identificação (formas padrão e testes rápidos). Isto é uma “aula-resumo” curta para sabermos o que procurar em cada equação.
  • Separable (separável): uma EDO de 1ª ordem é separável se pode ser escrita como
\frac{d y}{d x}=A(x)\,B(y),
ou seja pode ser rearranjada para \dfrac{dy}{B(y)}=A(x)\,dx. Isso permite integrar cada lado em sua variável.
  • Homogeneous (homogênea, forma usual para EDO de 1ª ordem): a forma clássica é
\frac{d y}{d x}=F\!\left(\frac{y}{x}\right),
ou equivalentemente quando o lado direito é uma função apenas da razão \dfrac{y}{x}. Outra definição (mais geral) fala de funções homogêneas de mesmo grau em x,y, mas aqui usamos a definição prática: RHS depende só de y/x.
  • Exact (exata): escrevendo a EDO como
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,
ela é exata se \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}. Nesse caso existe uma função potencial \Phi(x,y) com d\Phi=0.
  • Linear (equação linear de 1ª ordem): forma clássica
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x).
É linear em y (e em y'). Observação: às vezes é preciso ver a equação trocando as variáveis (tratar x como função de y) para reconhecer linearidade.
  • Bernoulli: forma
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
com n\neq0,1. Pode ser transformada em linear pela substituição z=y^{1-n}.
  • Riccati: forma
\frac{d y}{d x}=a(x)+b(x)\,y+c(x)\,y^{2},
equação quadrática em y. É um caso especial importante (nesse caso é não-linear).
  • Clairaut: forma padrão
y=x p+f(p),\qquad p=\frac{d y}{d x},
ou seja y aparece linear em x com p livre e uma função de p. Se a equação pode ser escrita assim, é Clairaut.
Observação prática: às vezes é conveniente trocar o papel de x e y (tratar x como função de y) — isso pode transformar a equação numa das formas acima (por exemplo linear em x(y) ou Riccati em x).

Passo 3

Classificação do item (a): \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1}{y-x}.
  • Teste direto de separabilidade: não é imediatamente da forma A(x)B(y).
  • Observação prática: se fizer a substituição u=y-x obtém-se uma EDO em u do tipo u'= função de u apenas (autônoma), isto é transformável em separável por du/\text{(função de }u)=dxçã. Por isso esta equação é tratada como separável depois de uma transformação linear das variáveis.
    Classificação: separável.

Passo 4

Classificação do item (b): \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x-y}{x}.
  • Reescrevendo: \dfrac{d y}{d x}=1-\dfrac{y}{x}. O RHS depende apenas da razão \dfrac{y}{x} (aqui 1-\dfrac{y}{x}=F\!\left(\dfrac{y}{x}\right)).
    Classificação: homogênea.

Passo 5

Classificação do item (c): \left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}+2 y=2 x \dfrac{d y}{d x}.
  • Rearranjando: 2y=2x y'- (y')^{2}, ou
y = x y' -\tfrac{1}{2}(y')^{2}.
  • Isto tem a forma y = x p + f(p) com p=y' e f(p)=-\tfrac{1}{2}p^{2}. Essa é exatamente a forma de Clairaut.
    Classificação: Clairaut.

Passo 6

Classificação do item (d): \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1}{x(x-y)}.
  • Se considerarmos x como função de y: \dfrac{d x}{d y}=x(x-y)=x^{2}-x y. Essa equação é quadrática em x (lado direito é combinação de x^{2} e x\cdot(\text{função de }y)çã), i.e. tem a forma de Riccati para x(y):
\frac{d x}{d y}=a(y)+b(y)\,x+c(y)\,x^{2}
(com a(y)=0,\\ b(y)=-y,\\ c(y)=1). Portanto, vista trocando-se as variáveis, é uma equação do tipo Riccati.
Classificação: Riccati (quando tratada como equação em x(y)).

Passo 7

Classificação do item (e): \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y^{2}+y}{x^{2}+x}.
  • Factorizando numerador e denominador: \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y(y+1)}{x(x+1)}. Esta é claramente separável porque pode ser escrita
\frac{dy}{y(y+1)}=\frac{dx}{x(x+1)}.
Classificação: separável.

Passo 8

Classificação do item (f): \dfrac{d y}{d x}=4+5 y+y^{2}.
  • O RHS é um polinômio em y de grau 2; a equação tem a forma \dfrac{dy}{dx}=a(x)+b(x)y+c(x)y^{2} com a,b,c constantes aqui. Isso é a forma canônica de Riccati (autônoma neste caso).
    Classificação: Riccati.

Passo 9

Classificação do item (g): y\, d x=\left(y-x y^{2}\right) d y.
  • Passar para a forma \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{y-x y^{2}}{y}=1-x y. Assim
\frac{dx}{dy}+y\,x=1,
que é uma equação linear de 1ª ordem para x com variável independente y (forma x'+P(y)x=Q(y)).
Classificação: linear (no sentido que é linear em x(y)).

Passo 10

Classificação do item (h): x \dfrac{d y}{d x}=y e^{x / y}-x.
  • Reescrevendo:
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}e^{x/y}-1.
  • O RHS é função apenas da razão y/x: escrevendo u=\dfrac{y}{x} dá uma função G(u)=u e^{1/u}-1, logo \dfrac{dy}{dx}=G\!\left(\dfrac{y}{x}\right). Isso é a forma prática de uma equação homogênea (RHS depende somente de y/x).
    Classificação: homogênea.

Passo 11

Classificação do item (i): x y y^{\prime}+y^{2}=2 x.
  • Reescrevendo para y': y'=\dfrac{2x-y^{2}}{x y}= -\frac{y}{x} + \frac{2}{y}.
  • Colocando em forma padrão: y'+\dfrac{1}{x}y=\dfrac{2}{y}. Isto é da forma Bernoulli com expoente n=-1 (porque o termo à direita é Q(x)y^{n} com n=-1).
    Classificação: Bernoulli.

Passo 12

Classificação do item (j): 2 x y y^{\prime}+y^{2}=2 x^{2}.
  • Colocando em forma explícita:
y'=\frac{2x^{2}-y^{2}}{2x y}=\frac{x}{y}-\frac{y}{2x}.
  • Reescrevendo como y'+\dfrac{y}{2x}=\dfrac{x}{y}. Novamente o membro direito é proporcional a y^{-1}, então é uma equação do tipo Bernoulli com n=-1.
    Classificação: Bernoulli.

Passo 13

Classificação do item (k): y\, d x+x\, d y=0.
  • Observação: y\,dx+x\,dy=d(xy). Portanto a equação é exatamente d(xy)=0, o que significa que é exata (tem potencial \Phi(x,y)=xy). Também pode ser vista como separável: dy/dx=-y/x. A classificação mais direta é exata.
    Classificação: exata.

Passo 14

Classificação do item (l): \left(x^{2}+\dfrac{2 y}{x}\right) d x=\left(3-\ln x^{2}\right) d y.
  • Colocar na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
M=x^{2}+\frac{2y}{x},\qquad N=-(3-\ln x^{2}).
  • Calcular derivadas parciais: \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{2}{x} e \dfrac{\partial N}{\partial x}=-\dfrac{d}{dx}(3-\ln x^{2})=2/x. Como coincidem, a equação é exata.
    Classificação: exata.

Passo 15

Classificação do item (m): \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+1.
  • Coloque u=\dfrac{y}{x}. Então y=ux e y'=u+x u'. Substituindo no lado direito obtém-se uma expressão que depende apenas de u: de fato
\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1=\frac{1}{u}+u+1.
  • Assim u+x u'=\frac{1}{u}+u+1, i.e. a RHS depende somente de u. Portanto a equação original é do tipo homogêneo no sentido prático (RHS é função de y/x). Também leva a uma equação separável em u e x após re-arranjo.
    Classificação: homogênea.

Passo 16

Classificação do item (n): \dfrac{y}{x^{2}} \dfrac{d y}{d x}+e^{2 x^{3}+y^{2}}=0.
  • Reescrever isolando y':
\frac{d y}{d x}=-\frac{x^{2}}{y}e^{2x^{3}+y^{2}}.
  • Notar que e^{2x^{3}+y^{2}}=e^{2x^{3}}e^{y^{2}}. Assim o RHS é produto de função de x por função de y: -\big(x^{2}e^{2x^{3}}\big)\cdot\big(e^{y^{2}}/y\big). Logo a equação é separável (coloca-se fatores de y do lado de dy e de x do lado de dx).
    Classificação: separável.

Passo 17

Classificação do item (o): y=x y^{\prime}+\left(y^{\prime}-3\right)^{2}.
  • Escrevendo p=y' temos y=x p+(p-3)^{2}, forma exatamente y=x p+f(p). Isso é a forma padrão de Clairaut.
    Classificação: Clairaut.

Passo 18

Classificação do item §: y^{\prime}+5 y^{2}=3 x^{4}-2 x y.
  • Rearranjando para colocar y' isolado:
\frac{dy}{dx}=3x^{4}-2x y-5y^{2},
que é da forma a(x)+b(x)y+c(x)y^{2} (com a(x)=3x^{4}, b(x)=-2x, c(x)=-5). Essa é a equação de Riccati (quadrática em y).
Classificação: Riccati.

Resposta

(a) separável
(b) homogênea
(c) Clairaut
(d) Riccati
(e) separável
(f) Riccati
(g) linear
(h) homogênea
(i) Bernoulli
(j) Bernoulli
(k) exata
(l) exata
(m) homogênea
(n) separável
(o) Clairaut
§ Riccati

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