Sem resolver, classifique cada uma das seguintes equações como: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulli, Ricatti ou Clairaut.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(1)
(m)
(n)
(o)
§
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(1)
(m)
(n)
(o)
§
Passo 1
O enunciado pede: para cada uma das equações dadas, indicar qual é a classificação adequada entre as opções: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulli, Riccati ou Clairaut.
As equações fornecidas são (repetidas aqui para clareza):
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
As equações fornecidas são (repetidas aqui para clareza):
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
Passo 2
Pequeno resumo de identificação (formas padrão e testes rápidos). Isto é uma “aula-resumo” curta para sabermos o que procurar em cada equação.
- Separable (separável): uma EDO de 1ª ordem é separável se pode ser escrita como
ou seja pode ser rearranjada para
. Isso permite integrar cada lado em sua variável.
- Homogeneous (homogênea, forma usual para EDO de 1ª ordem): a forma clássica é
ou equivalentemente quando o lado direito é uma função apenas da razão
. Outra definição (mais geral) fala de funções homogêneas de mesmo grau em
, mas aqui usamos a definição prática: RHS depende só de
.
- Exact (exata): escrevendo a EDO como
ela é exata se
. Nesse caso existe uma função potencial
com
.
- Linear (equação linear de 1ª ordem): forma clássica
É linear em
(e em
). Observação: às vezes é preciso ver a equação trocando as variáveis (tratar
como função de
) para reconhecer linearidade.
- Bernoulli: forma
com
. Pode ser transformada em linear pela substituição
.
- Riccati: forma
equação quadrática em
. É um caso especial importante (nesse caso é não-linear).
- Clairaut: forma padrão
ou seja
aparece linear em
com
livre e uma função de
. Se a equação pode ser escrita assim, é Clairaut.
Observação prática: às vezes é conveniente trocar o papel de
e
(tratar
como função de
) — isso pode transformar a equação numa das formas acima (por exemplo linear em
ou Riccati em
).
Passo 3
Classificação do item (a):
.
- Teste direto de separabilidade: não é imediatamente da forma
. - Observação prática: se fizer a substituição
obtém-se uma EDO em do tipo função de apenas (autônoma), isto é transformável em separável por . Por isso esta equação é tratada como separável depois de uma transformação linear das variáveis.
Classificação: separável.
Passo 4
Classificação do item (b):
.
- Reescrevendo:
. O RHS depende apenas da razão (aqui ).
Classificação: homogênea.
Passo 5
Classificação do item (c):
.
- Rearranjando:
, ou
- Isto tem a forma
com e . Essa é exatamente a forma de Clairaut.
Classificação: Clairaut.
Passo 6
Classificação do item (d):
.
- Se considerarmos
como função de : . Essa equação é quadrática em (lado direito é combinação de e ), i.e. tem a forma de Riccati para :
(com
). Portanto, vista trocando-se as variáveis, é uma equação do tipo Riccati.
Classificação: Riccati (quando tratada como equação em ).
Classificação: Riccati (quando tratada como equação em
Passo 7
Classificação do item (e):
.
- Factorizando numerador e denominador:
. Esta é claramente separável porque pode ser escrita
Classificação: separável.
Passo 8
Classificação do item (f):
.
- O RHS é um polinômio em
de grau 2; a equação tem a forma com constantes aqui. Isso é a forma canônica de Riccati (autônoma neste caso).
Classificação: Riccati.
Passo 9
Classificação do item (g):
.
- Passar para a forma
. Assim
que é uma equação linear de 1ª ordem para
com variável independente
(forma
).
Classificação: linear (no sentido que é linear em ).
Classificação: linear (no sentido que é linear em
Passo 10
Classificação do item (h):
.
- Reescrevendo:
- O RHS é função apenas da razão
: escrevendo dá uma função , logo . Isso é a forma prática de uma equação homogênea (RHS depende somente de ).
Classificação: homogênea.
Passo 11
Classificação do item (i):
.
- Reescrevendo para
: . - Colocando em forma padrão:
. Isto é da forma Bernoulli com expoente (porque o termo à direita é com ).
Classificação: Bernoulli.
Passo 12
Classificação do item (j):
.
- Colocando em forma explícita:
- Reescrevendo como
. Novamente o membro direito é proporcional a , então é uma equação do tipo Bernoulli com .
Classificação: Bernoulli.
Passo 13
Classificação do item (k):
.
- Observação:
. Portanto a equação é exatamente , o que significa que é exata (tem potencial ). Também pode ser vista como separável: . A classificação mais direta é exata.
Classificação: exata.
Passo 14
Classificação do item (l):
.
- Colocar na forma
dá
- Calcular derivadas parciais:
e . Como coincidem, a equação é exata.
Classificação: exata.
Passo 15
Classificação do item (m):
.
- Coloque
. Então e . Substituindo no lado direito obtém-se uma expressão que depende apenas de : de fato
- Assim
, i.e. a RHS depende somente de . Portanto a equação original é do tipo homogêneo no sentido prático (RHS é função de ). Também leva a uma equação separável em e após re-arranjo.
Classificação: homogênea.
Passo 16
Classificação do item (n):
.
- Reescrever isolando
:
- Notar que
. Assim o RHS é produto de função de por função de : . Logo a equação é separável (coloca-se fatores de do lado de e de do lado de ).
Classificação: separável.
Passo 17
Classificação do item (o):
.
- Escrevendo
temos , forma exatamente . Isso é a forma padrão de Clairaut.
Classificação: Clairaut.
Passo 18
Classificação do item §:
.
- Rearranjando para colocar
isolado:
que é da forma
(com
,
,
). Essa é a equação de Riccati (quadrática em
).
Classificação: Riccati.
Classificação: Riccati.
Resposta
(a) separável
(b) homogênea
(c) Clairaut
(d) Riccati
(e) separável
(f) Riccati
(g) linear
(h) homogênea
(i) Bernoulli
(j) Bernoulli
(k) exata
(l) exata
(m) homogênea
(n) separável
(o) Clairaut
§ Riccati
(b) homogênea
(c) Clairaut
(d) Riccati
(e) separável
(f) Riccati
(g) linear
(h) homogênea
(i) Bernoulli
(j) Bernoulli
(k) exata
(l) exata
(m) homogênea
(n) separável
(o) Clairaut
§ Riccati