1. Resolva por Gauss:
\left\{\begin{array}{l} 2 x+y-z=3 \\ x-y+2 z=1 \\ 3 x+2 y+z=8 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 2x + y - z = 3,\\\ x - y + 2z = 1,\\\\ 3x + 2y + z = 8 \end{cases}
usando eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para chegar a uma forma triangular.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr]:
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 3\\\\ 1 & -1 & 2 & 1\\\\ 3 & 2 & 1 & 8 \end{array}\right).

Passo 3

Eliminamos os coeficientes abaixo de a_{11}=2.
  • Substituímos R_2\leftarrow R_2 - \tfrac12R_1:
R_2: \; \bigl(1,\,-1,\,2\mid1\bigr) -\tfrac12\bigl(2,\,1,\,-1\mid3\bigr) = \bigl(0,\,-\tfrac32,\,\tfrac52\mid -\tfrac12\bigr).
  • Substituímos R_3\leftarrow R_3 - \tfrac32R_1:
R_3: \; \bigl(3,\,2,\,1\mid8\bigr) -\tfrac32\bigl(2,\,1,\,-1\mid3\bigr) = \bigl(0,\,\tfrac12,\,\tfrac52\mid \tfrac72\bigr).
Agora a matriz é
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 3\\\\ 0 & -\tfrac32 & \tfrac52 & -\tfrac12\\\\ 0 & \tfrac12 & \tfrac52 & \tfrac72 \end{array}\right).

Passo 4

Eliminamos o coeficiente abaixo de a_{22}=-\tfrac32. Como \tfrac12/(-\tfrac32)=-\tfrac13, fazemos
R_3 \leftarrow R_3 - \bigl(-\tfrac13\bigr)R_2 \quad\Longrightarrow\quad R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac13R_2.
Cálculo em R_3:
\bigl(\tfrac12,\tfrac52\mid\tfrac72\bigr) +\tfrac13\bigl(-\tfrac32,\tfrac52\mid -\tfrac12\bigr) =\bigl(0,\tfrac{10}{3}\mid\tfrac{10}{3}\bigr).
A matriz triangular fica
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 3\\\\ 0 & -\tfrac32 & \tfrac52 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & \tfrac{10}{3} & \tfrac{10}{3} \end{array}\right).

Passo 5

Agora fazemos substituição retroativa:
  1. Da terceira linha:
\tfrac{10}{3}\,z = \tfrac{10}{3} \quad\Longrightarrow\quad z = 1.
  1. Da segunda linha:
-\tfrac32\,y + \tfrac52\,z = -\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac32\,y + \tfrac52\cdot1 = -\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac32\,y = -3 \quad\Longrightarrow\quad y = 2.
  1. Da primeira linha:
2x + y - z = 3 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 2 - 1 = 3 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Resposta

x = 1,\; y = 2,\; z = 1.

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