Resolva implicitamente as seguintes derivadas:
ln (x y)+cos (x-y)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
ln(xy)+cos(x-y)=1
e pede dydx.
O conteúdo principal é derivada implícita, usando regra da cadeia e derivada de funções elementares ( ln, cos).

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
  • Para ln(xy), como ln(xy)=ln x+ln y, temos
ddxln(xy)=1x+1y,dydx
  • Para cos(x-y), pela regra da cadeia,
ddxcos(x-y)=-sin(x-y),ddx(x-y) =-sin(x-y),(1-tfracdydx)
O lado direito 1 dá derivada zero.
Logo a derivada implícita gera a equação
1x+1y,dydx -sin(x-y),l(1-tfracdydxr)=0

Passo 3

Expandindo e agrupando os termos com tfracdydx:
1x+1y,dydx -sin(x-y)+sin(x-y),dydx=0,
l(1y+sin(x-y)r)dydx =sin(x-y)-1x
Isolando tfracdydx:
dydx =sin(x-y)-tfrac1xtfrac1y+sin(x-y) ;=; y,sin(x-y)-tfracyx1+y,sin(x-y)

Resposta

boxeddydx =sin(x-y)-tfrac1xtfrac1y+sin(x-y) =y,sin(x-y)-tfracyx1+y,sin(x-y)

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