Resolva a inequação.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os valores de
que satisfazem a inequação
Informações dadas que vamos usar:
- A expressão é um polinômio em
com coeficientes: coeficiente de é , de é e termo constante é . - O objetivo é encontrar o conjunto de
(intervalo) onde essa expressão é positiva.
Passo 2
Primeiro, é mais simples trabalhar com um polinômio cujo termo de maior grau tenha sinal positivo. Multiplico a inequação por
. Lembrete importante: ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo o sentido da desigualdade se inverte. Assim
Reescrevendo em ordem standard:
Passo 3
Para entender onde um polinômio do segundo grau é negativo, primeiro encontro as raízes da equação associada
. Uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para um polinômio
as raízes são
onde
,
,
são os coeficientes. Aqui
,
,
. Calculo o discriminante:
Logo as raízes são
Portanto as raízes são
Passo 4
Com as raízes encontradas, factorizei o polinômio:
Agora analiso o sinal do produto
. Cada fator muda de sinal quando
passa por sua raiz:
- Para
: e → produto . - Para
: e → produto . - Para
: e → produto .
Queremos onde o polinômio é estritamente menor que zero, então a solução é a região onde o produto é negativo, isto é entre as raízes. Os pontos
e
não satisfazem a desigualdade porque aí o polinômio vale zero.
Passo 5
Como verificação alternativa (útil para prova): completar o quadrado em
.
Então
Isto é equivalente a
, ou seja
o mesmo resultado obtido antes.