Resolva a inequação.
21+4 x-x^{2}>0

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os valores de x que satisfazem a inequação
21+4x-x^{2}>0.
Informações dadas que vamos usar:
  • A expressão é um polinômio em x com coeficientes: coeficiente de x^{2} é -1, de x é 4 e termo constante é 21.
  • O objetivo é encontrar o conjunto de x (intervalo) onde essa expressão é positiva.

Passo 2

Primeiro, é mais simples trabalhar com um polinômio cujo termo de maior grau tenha sinal positivo. Multiplico a inequação por -1. Lembrete importante: ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo o sentido da desigualdade se inverte. Assim
21+4x-x^{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad -21-4x+x^{2}<0.
Reescrevendo em ordem standard:
x^{2}-4x-21<0.

Passo 3

Para entender onde um polinômio do segundo grau é negativo, primeiro encontro as raízes da equação associada x^{2}-4x-21=0. Uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para um polinômio ax^{2}+bx+c as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b, c são os coeficientes. Aqui a=1, b=-4, c=-21. Calculo o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot(-21)=16+84=100.
Logo as raízes são
x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{100}}{2\cdot1}=\frac{4\pm10}{2}.
Portanto as raízes são
x=\frac{4+10}{2}=7\quad\text{e}\quad x=\frac{4-10}{2}=-3.

Passo 4

Com as raízes encontradas, factorizei o polinômio:
x^{2}-4x-21=(x-7)(x+3).
Agora analiso o sinal do produto (x-7)(x+3). Cada fator muda de sinal quando x passa por sua raiz:
  • Para x<-3: x+3<0 e x-7<0 → produto >0.
  • Para -3<x<7: x+3>0 e x-7<0 → produto <0.
  • Para x>7: x+3>0 e x-7>0 → produto >0.
Queremos onde o polinômio é estritamente menor que zero, então a solução é a região onde o produto é negativo, isto é entre as raízes. Os pontos x=-3 e x=7 não satisfazem a desigualdade porque aí o polinômio vale zero.

Passo 5

Como verificação alternativa (útil para prova): completar o quadrado em x^{2}-4x-21<0.
x^{2}-4x-21=(x^{2}-4x+4)-4-21=(x-2)^{2}-25.
Então
(x-2)^{2}-25<0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-2)^{2}<25.
Isto é equivalente a |x-2|<5, ou seja
-5<x-2<5 \quad\Longleftrightarrow\quad -3<x<7,
o mesmo resultado obtido antes.

Resposta

(-3,7)

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