Resolva a inequação: x-4<x^2-4 <= x+2.
(a) S=x in R mid x <=-5 cup x >= 3,
(b) S=x in R mid-2 <= x<0 cup 1<x <= 3,
(c) S=x in R mid x<4 cup 9<x <= 15
(d) S=x in R mid x <= 5 cup x >= 9,
(e) S=x in R mid 0<x <= 5 cup 9 <= x <= 15.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação composta
x - 4 < x^2 - 4 <= x + 2
ou seja, precisamos encontrar todos os xinR que satisfazem simultaneamente
  1. x - 4 < x^2 - 4
  2. x^2 - 4 <= x + 2.
    O conteúdo é resolução de inequações quadráticas e interseção de soluções.

Passo 2

Resolvendo a primeira parte
x - 4 < x^2 - 4
subtraindo x-4 de ambos os lados:
0 < x^2 - 4 - (x - 4) Longrightarrow 0 < x^2 - x Longrightarrow x^2 - x > 0
fatorando:
x(x - 1) > 0
Como a parábola x(x-1) abre para cima, a solução é
x < 0 ou x > 1

Passo 3

Resolvendo a segunda parte
x^2 - 4 <= x + 2
colocando tudo num lado:
x^2 - x - 6 <= 0
que fatoriza em
(x - 3)(x + 2) <= 0
Novamente a parábola abre para cima, logo a solução é
-2 <= x <= 3

Passo 4

Agora fazemos a interseção das soluções:
(x<0 ou x>1)cap(-2<= x<=3)
Isso dá dois intervalos:
-2 <= x < 0 e 1 < x <= 3
Verificamos os extremos: em x=-2 e em x=3 ambas as desigualdades ficam iguais a zero e são permitidas. Já em x=0 ou x=1 a primeira parte vira igualdade estrita e não vale.

Resposta

S=xinRmid -2<= x<0cup1<x<=3, correspondente à alternativa (b).

Exercícios relacionados