Resolva a inequação: x^3-4 x^2-x+4 <= 0.
(a) S=x in R mid-2 <= x<0 cup 1<x <= 3,
(b) S=x in R mid x<-4 cup 2 <= x <= 3 cup x>4,
(c) S=x in R mid x <=-1 cup 1 <= x <= 4,
(d) S=x in R mid x <= 1,
(e) S=in R mid-5 <= x <= 1 cup x >= 9.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x^3-4x^2-x+4 <= 0
Isso envolve fatorar o polinômio de grau 3 para encontrar suas raízes e, em seguida, estudar o sinal em cada intervalo determinado por essas raízes.

Passo 2

Aplicamos o Teorema do Resto/Raiz Racional para testar possíveis raízes em pm1,pm2,pm4. Vendo que
1^3-4cdot1^2-1+4 = 0,
concluímos que x=1 é raiz. Dividindo o polinômio por (x-1) (divisão sintética ou algébrica), obtemos o quociente
x^2-3x-4,
que se fatoriza como
x^2-3x-4 = (x-4)(x+1)
Portanto
x^3-4x^2-x+4 = (x-1)(x-4)(x+1)

Passo 3

Para estudar o sinal de (x-1)(x-4)(x+1), fazemos o quadro de sinais com as raízes em ordem: -1<1<4. Como o coeficiente principal é positivo, temos:
- Em x<-1: todos os três fatores são negativos em (- infty,-1), logo o produto é negativo.
- Em -1<x<1: dois fatores são negativos e um positivo, produto positivo.
- Em 1<x<4: um fator é negativo e dois positivos, produto negativo.
- Em x>4: todos os fatores são positivos, produto positivo.

Passo 4

Queremos (x-1)(x-4)(x+1)<=0, isto é, os intervalos em que é negativo ou zero. Incluímos as raízes porque a desigualdade admite igualdade. Assim,
x<= -1 ou 1<= x<= 4

Resposta

A alternativa correta é a (c):
S = xinRmid x<= -1cupxinRmid 1<= x<= 4

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