Resolva a inequação: x^2-5 x+6x^2-16 >= 0.
(a) S=x in R mid x<-4 cup 2 <= x <= 3 cup x>4,
(b) S=x in R mid-9 <= x<-4 cup 1 <= x <= 5 cup 7<x<9,
(c) S=x in R mid 0<x<5 cup x>7,
(d) S=x in R mid x>10
(e) S=x in R mid x<3 cup 5 <= x <= 10 cup x>15.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x^2-5x+6x^2-16>=0.
O conteúdo envolve análise de sinais de uma função quociente: vamos fatorar numerador e denominador, identificar zeros e pontos de descontinuidade e montar um quadro de sinais.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^2-5x+6=(x-2)(x-3),
x^2-16=(x-4)(x+4)
As raízes do numerador são x=2 e x=3 (onde a fração pode ser zero), e as raízes do denominador são x=-4 e x=4 (onde a expressão é indefinida).

Passo 3

Os pontos críticos são -4,2,3,4, que dividem a reta em cinco intervalos. Escolhemos um valor-teste em cada intervalo e analisamos o sinal de numerador e denominador:
Para x<-4:
(x-2)(x-3)>0 e (x-4)(x+4)>0 Rightarrow fração >0.
Para -4<x<2:
numerador >0, denominador <0 Rightarrow fração <0.
Para 2<x<3:
numerador <0, denominador <0 Rightarrow fração >0.
Para 3<x<4:
numerador >0, denominador <0 Rightarrow fração <0.
Para x>4:
numerador >0, denominador >0 Rightarrow fração >0.

Passo 4

Como queremos
x^2-5x+6x^2-16>=0,
incluímos os intervalos onde a fração é positiva e também as raízes do numerador onde ela é zero. Não incluímos pm4 porque a expressão é indefinida ali. Logo,
S=(-infty,-4),cup,[2,3],cup,(4,infty)

Resposta

(a)

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