Resolva a inequação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e inequações. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o sinal de uma função e resolver desigualdades envolvendo funções exponenciais e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, temos que:
Isso significa que
e
. Esses valores não fazem parte das soluções da inequação.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a inequação para facilitar a análise:
Subtraímos 1 de ambos os lados para trazer tudo para um lado da desigualdade:
Para combinar as frações, colocamos o 1 com o mesmo denominador:
Simplificando o numerador:
Passo 4
Agora, precisamos determinar onde a fração
é positiva. Para isso, vamos analisar os sinais do numerador e do denominador separadamente.
Numerador:
Denominador:
Vamos encontrar os pontos onde o numerador e o denominador mudam de sinal.
Passo 5
Primeiro, vamos analisar o denominador
:
Esses são os pontos críticos onde o denominador muda de sinal. Vamos determinar o sinal em cada intervalo:
- Para
, - Para
, - Para
,
Passo 6
Agora, vamos analisar o numerador
. Como
cresce exponencialmente e
cresce quadraticamente, o comportamento do numerador muda conforme o valor de
.
Vamos encontrar quando
. Essa equação pode ser resolvida numericamente ou graficamente. Observamos que:
- Para
: - Para
: - Para
:
Parece que o numerador é sempre positivo para os valores testados. Portanto, podemos considerar que o numerador
para todo
.
Passo 7
Já que o numerador é sempre positivo, a fração terá o mesmo sinal que o denominador. Assim, a inequação
será verdadeira quando o denominador for positivo.
Lembrando nossa análise do denominador:
-
quando ou
Passo 8
Por fim, devemos excluir os valores onde o denominador é zero, ou seja,
e
. Portanto, as soluções da inequação são todos os valores de
tais que:
Resposta
A solução da inequação
é
ou
.