Resolva a inequação 3^x / (x^2 - 4) > 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e inequações. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o sinal de uma função e resolver desigualdades envolvendo funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, temos que:
Isso significa que e . Esses valores não fazem parte das soluções da inequação.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a inequação para facilitar a análise:
Subtraímos 1 de ambos os lados para trazer tudo para um lado da desigualdade:
Para combinar as frações, colocamos o 1 com o mesmo denominador:
Simplificando o numerador:

Passo 4

Agora, precisamos determinar onde a fração é positiva. Para isso, vamos analisar os sinais do numerador e do denominador separadamente.
Numerador:
Denominador:
Vamos encontrar os pontos onde o numerador e o denominador mudam de sinal.

Passo 5

Primeiro, vamos analisar o denominador :
Esses são os pontos críticos onde o denominador muda de sinal. Vamos determinar o sinal em cada intervalo:
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,

Passo 6

Agora, vamos analisar o numerador . Como cresce exponencialmente e cresce quadraticamente, o comportamento do numerador muda conforme o valor de .
Vamos encontrar quando . Essa equação pode ser resolvida numericamente ou graficamente. Observamos que:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Parece que o numerador é sempre positivo para os valores testados. Portanto, podemos considerar que o numerador para todo .

Passo 7

Já que o numerador é sempre positivo, a fração terá o mesmo sinal que o denominador. Assim, a inequação será verdadeira quando o denominador for positivo.
Lembrando nossa análise do denominador:
  • quando ou

Passo 8

Por fim, devemos excluir os valores onde o denominador é zero, ou seja, e . Portanto, as soluções da inequação são todos os valores de tais que:

Resposta

A solução da inequação é ou .

Exercícios relacionados