Resolva as inequações abaixo, para x in R.
|x^2-5 x|=3 x-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação com valor absoluto
l|x^2-5xr| = 3x - 2
O conteúdo aqui é “equação do tipo lvert f(x)rvert = g(x)”: precisamos impor primeiro g(x)>=0 e depois dividir em dois casos conforme f(x) seja não-negativo ou negativo.

Passo 2

Como o módulo é sempre não-negativo, o lado direito também deve ser:
3x - 2 ;>=; 0
Logo
x ;>=;tfrac23
A partir de agora buscamos soluções apenas em l[tfrac23,inftyr).

Passo 3

Caso 1: x^2-5x>=0. Isso equivale a
x(x-5)>=0 Longrightarrow x<=0 ; ou ; x>=5
Intersectando com l[tfrac23,inftyr) fica x>=5. Nesse ramo o módulo “some”, e a equação vira
x^2-5x = 3x - 2 Longrightarrow x^2-8x+2=0
As raízes são
x = 8 pm raiz64 - 82 =4 pm raiz14
Destas, só 4+raiz14 atende x>=5.

Passo 4

Caso 2: x^2-5x<0. Isso ocorre para 0< x<5. Intersecção com l[tfrac23,inftyr) tfrac23<= x<5. Aqui o módulo inverte o sinal, e temos
-(x^2-5x) = 3x -2 Longrightarrow -x^2+5x = 3x -2 Longrightarrow x^2-2x-2=0
As soluções são
x = 2 pm raiz4 + 82 =1 pm raiz3
Destas, 1-raiz3<0 não entra no intervalo l[tfrac23,5r), mas 1+raiz3approx2,732 cabe direitinho.

Resposta

As soluções reais da equação são
x = 1 + raiz3 e x = 4 + raiz14

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