Resolva as inequações abaixo, para x in R.
|x+12 x-1| <= 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver, no conjunto dos números reais, a inequação com valor absoluto
|x+12x-1|<=2
O conteúdo envolve inequações racionais e manipulação de valor absoluto. Vamos determinar o domínio da expressão, reescrever a desigualdade ao quadrado e resolver a inequação quadrática resultante.

Passo 2

O denominador não pode ser zero, logo
2x-1neq0Longrightarrow xneq12
Em seguida, usamos a equivalência
|x+12x-1|<=2 Long<=ftrightarrow (x+1)^2(2x-1)^2<=4

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (2x-1)^2>0, obtemos
(x+1)^2 <= 4,(2x-1)^2
Expandindo e agrupando termos, resulta
x^2+2x+1 ;-;4,(4x^2-4x+1)<=0 ;Longrightarrow; -15x^2+18x-3<=0
Multiplicando por -1 e invertendo o sinal da desigualdade, vem
15x^2-18x+3>=0
e dividindo por 3,
5x^2-6x+1>=0

Passo 4

Calculamos o discriminante da parábola 5x^2-6x+1:
De<a = (-6)^2 - 4cdot5cdot1 = 36 - 20 = 16
As raízes são
x = 6pm410 ;Longrightarrow; x=15ou x=1
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a expressão é não negativa para
x<=15 ou x>=1

Passo 5

Restam excluir apenas x=tfrac12, mas esse ponto já não pertence aos intervalos obtidos. Portanto a solução da inequação original é
xinl(-infty,tfrac15r];cup;l[1,inftyr)

Resposta

(-infty,15]cup[1,infty)

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