(Valor até 4 pts.) Determine a integral de superfície \iint\left(x^{2}+y^{2}\right) d s, onde S é a parte da superfície z^{2}=x^{2}+y^{2} entre os planos z=1 \mathrm{e}z=2.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{S}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dS
onde S é a parte da superfície z^{2}=x^{2}+y^{2} entre os planos z=1 e z=2. O conteúdo envolvido é integral de superfície sobre uma superfície paramétrica.
Passo 2
Reconhecemos que z^{2}=x^{2}+y^{2} é um cone duplo. Entre z=1 e z=2 mantemos apenas a “nape” superior, que satisfaz
z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge0.
Para integrar, usaremos coordenadas cilíndricas (r,\theta).