(Valor até 4 pts.) Determine a integral de superfície \iint\left(x^{2}+y^{2}\right) d s, onde S é a parte da superfície z^{2}=x^{2}+y^{2} entre os planos z=1 \mathrm{e} z=2.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{S}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dS
onde S é a parte da superfície z^{2}=x^{2}+y^{2} entre os planos z=1 e z=2. O conteúdo envolvido é integral de superfície sobre uma superfície paramétrica.

Passo 2

Reconhecemos que z^{2}=x^{2}+y^{2} é um cone duplo. Entre z=1 e z=2 mantemos apenas a “nape” superior, que satisfaz
z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge0.
Para integrar, usaremos coordenadas cilíndricas (r,\theta).

Passo 3

Parametrização de S:
\Phi(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\bigr), \quad 1 \le r \le 2,\quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial\Phi}{\partial r} = (\cos\theta,\;\sin\theta,\;1), \qquad \frac{\partial\Phi}{\partial \theta} = (-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).
O vetor normal (módulo do produto vetorial) é
\Bigl\lvert\frac{\partial\Phi}{\partial r}\times\frac{\partial\Phi}{\partial \theta}\Bigr\rvert = r\sqrt{2}.
Assim, dS = r\sqrt2\,dr\,d\theta.

Passo 5

Na parametrização, x^{2}+y^{2}=r^{2}. Logo
\iint_{S}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{2}r^{2}\,(r\sqrt2)\,dr\,d\theta =\sqrt2\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{1}^{2}r^{3}dr.
Calculando:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi, \qquad \int_{1}^{2}r^{3}dr = \Bigl[\frac{r^{4}}{4}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{16-1}{4}=\frac{15}{4}.
Portanto
\iint_{S}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dS = \sqrt2\,(2\pi)\,\frac{15}{4} = \frac{15\pi\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{15\pi\sqrt{2}}{2}

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