Resolva as inequações abaixo:
\frac{x-4}{x-2} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{x-4}{x-2}\ge0.
O tema aqui é estudo de sinais de uma fração; vamos precisar encontrar onde o numerador e o denominador se anulam e montar um quadro de sinais.

Passo 2

Identificamos os pontos que fazem o numerador ou o denominador zero:
– Numerador x-4=0 em x=4. Nesse ponto a fração vale 0.
– Denominador x-2=0 em x=2. Nesse ponto a expressão não está definida, então x=2 deve ser excluído.

Passo 3

Esses valores dividem a reta em três intervalos: (-\infty,2), (2,4) e (4,\infty). Vamos testar um ponto em cada um:
– Para x=0\in(-\infty,2):
\frac{0-4}{0-2}=\frac{-4}{-2}=2>0.
– Para x=3\in(2,4):
\frac{3-4}{3-2}=\frac{-1}{1}=-1<0.
– Para x=5\in(4,\infty):
\frac{5-4}{5-2}=\frac{1}{3}>0.

Passo 4

Como queremos \frac{x-4}{x-2}\ge0, incluímos os intervalos onde a expressão é positiva e também o ponto onde ela zera x=4, mas excluímos x=2 porque o denominador anula ali. Assim o conjunto solução é
(-\infty,2)\;\cup\;[4,\infty).

Resposta

(-\infty,2)\cup[4,\infty)

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