Resolva as inequações abaixo em termos de intervalos e ilustre o conjunto solução na reta real:
\left|x^{2}-5 x+6\right|<1

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação com valor absoluto
\bigl|x^{2}-5x+6\bigr|<1
que é um problema de inequações quadráticas e valor absoluto. Para resolver, vamos usar a definição
|A|<1\quad\Longleftrightarrow\quad -1<A<1
e depois tratar cada lado como uma inequação quadrática.

Passo 2

Aplicando a definição de valor absoluto, temos o sistema equivalente
-1 < x^{2}-5x+6 < 1.

Passo 3

Vamos isolar cada parte:
  1. Resolver
x^{2}-5x+6<1
que é
x^{2}-5x+5<0.
O polinômio x^{2}-5x+5 tem raízes
x=\frac{5\pm\sqrt{25-20}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}.
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a inequação x^{2}-5x+5<0 vale exatamente entre as raízes, ou seja
\frac{5-\sqrt{5}}{2}<x<\frac{5+\sqrt{5}}{2}.

Passo 4

Agora resolver
x^{2}-5x+6>-1
que é
x^{2}-5x+7>0.
O discriminante é \Delta=25-28=-3<0 e o coeficiente de x^2 é positivo, logo x^{2}-5x+7>0 para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Como a segunda condição vale para todo x, a única restrição vem de
x^{2}-5x+6<1,
portanto a solução da inequação original é
\frac{5-\sqrt{5}}{2}<x<\frac{5+\sqrt{5}}{2}.
Na reta real, isso corresponde ao intervalo aberto \bigl(\tfrac{5-\sqrt{5}}{2},\tfrac{5+\sqrt{5}}{2}\bigr), marcado como um segmento entre esses dois pontos.

Resposta

\bigl(\tfrac{5-\sqrt{5}}{2},\;\tfrac{5+\sqrt{5}}{2}\bigr)

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