Resolva as inequações abaixo:
3-x \leq 1-2 x<13-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação composta
3-x \leq 1-2x < 13-x
Ou seja, encontrar todos os valores de x que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades que aparecem na cadeia. As informações dadas são apenas essa desigualdade composta.

Passo 2

Uma inequação em cadeia como
A \leq B < C
significa que tanto A \leq B quanto B < C devem ser verdadeiros ao mesmo tempo. Portanto vamos separar a cadeia em duas inequações simples e resolver cada uma:
3-x \leq 1-2x
e
1-2x < 13-x
Lembrete de manipulação de inequações: ao somar ou subtrair a mesma quantidade dos dois lados a desigualdade mantém o sentido; ao multiplicar ou dividir por um número negativo o sentido da desigualdade se inverte. Aqui usaremos apenas soma/subtração.

Passo 3

Resolver a primeira inequação:
3-x \leq 1-2x
Somando 2x em ambos os lados para eliminar o termo -2x do lado direito:
3-x+2x \leq 1-2x+2x
o que dá
3+x \leq 1
Agora subtraindo 3 dos dois lados:
x \leq 1-3
ou seja
x \leq -2

Passo 4

Resolver a segunda inequação:
1-2x < 13-x
Subtraindo 1 de ambos os lados:
-2x < 12 - x
Agora somando 2x em ambos os lados:
0 < 12 + x
que é
x > -12

Passo 5

Agora juntamos as duas condições que devem valer ao mesmo tempo:
x \leq -2
e
x > -12
A interseção dessas condições é o conjunto de x tais que x é maior que -12 e ao mesmo tempo menor ou igual a -2. Em notação de intervalo isso é
(-12,-2]

Passo 6

Verificação rápida com pontos:
  • Para x=-2: temos 3-(-2)=5\le 1-2(-2)=5 e 1-2(-2)=5<13-(-2)=15. Satisfeito; o ponto -2 está incluído.
  • Para x=-12: temos 1-2(-12)=25 e 13-(-12)=25, então 25<25 é falso; logo -12 não está incluído.

Resposta

(-12,-2]

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