Resolva as inequações abaixo:
(x-2)(-2 x+8) \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(x-2)\,(-2x+8)\leq0.
Isso envolve produto de fatores lineares; vamos usar fatoração e análise de sinal para encontrar os valores de x que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Começamos fatorando o segundo termo:
-2x+8=-2\,(x-4).
Logo a inequação fica
(x-2)\,\bigl[-2\,(x-4)\bigr]\leq0 \;\Longleftrightarrow\; -2\,(x-2)\,(x-4)\leq0.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por -1 (lembre que isso inverte o sinal da desigualdade) e depois dividimos por 2>0, obtendo
(x-2)\,(x-4)\geq0.
Os zeros dos fatores são x=2 e x=4. Num diagrama de sinais para (x-2)(x-4):
  • Para x<2, ambos x-2<0 e x-4<0, produto >0.
  • Para 2<x<4, x-2>0 mas x-4<0, produto <0.
  • Para x>4, ambos x-2>0 e x-4>0, produto >0.
    Como queremos (x-2)(x-4)\geq0, aceitamos as regiões onde o produto é positivo ou zero.

Passo 4

Logo a solução é
x\in(-\infty,2]\;\cup\;[4,\infty).

Resposta

x\in(-\infty,2]\cup[4,\infty)

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