Resolva as inequações e apresente seus resultados usando a notação de intervalos.
|6-5 x||3+x| <= 12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valores absolutos
lvert 6 - 5xrvertlvert 3 + xrvert <= 12
e expressar a solução em notação de intervalos. O conteúdo é inequações envolvendo valor absoluto; vamos usar definição de valor absoluto e análise de sinais para resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio da expressão: o denominador não pode ser zero, logo
3 + x neq 0 Longrightarrow x neq -3

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por 2lvert 3+xrvert (sempre não-negativo) sem inverter o sinal da inequação:
lvert 6 - 5xrvertlvert 3 + xrvert <= 12 Longrightarrow 2,lvert 6 - 5xrvert <= lvert 3 + xrvert

Passo 4

Os pontos em que as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal são
6 - 5x = 0 ;Longrightarrow; x = 65, 3 + x = 0 ;Longrightarrow; x = -3
Isso divide a reta em três intervalos: (-infty,-3), (-3,tfrac65) e (tfrac65,infty).

Passo 5

Região x < -3:
  • Aqui 3+x<0 e 6-5x>0.
  • Então lvert 3+xrvert=-(3+x) e lvert 6-5xrvert=6-5x.
    A inequação fica
2(6-5x)<= -l(3+xr) ;Longrightarrow; 12-10x<= -x-3 ;Longrightarrow; 15<= 9x ;Longrightarrow; x>= 159=53
Não há x< -3 que satisfaça x>=5/3. Logo, nenhuma solução neste intervalo.

Passo 6

Região -3 < x < tfrac65:
  • Aqui 3+x>0 e 6-5x>0.
  • Então lvert 3+xrvert=3+x e lvert 6-5xrvert=6-5x.
    A inequação fica
2(6-5x)<= 3+x ;Longrightarrow; 12-10x<= 3+x ;Longrightarrow; 9<= 11x ;Longrightarrow; x>= 911
Intersecção com -3<x<tfrac65
xinl[tfrac911,,tfrac65r)

Passo 7

Região x > tfrac65:
  • Aqui 3+x>0 e 6-5x<0.
  • Então lvert 3+xrvert=3+x e lvert 6-5xrvert=5x-6.
    A inequação fica
2(5x-6)<= 3+x ;Longrightarrow; 10x-12<= x+3 ;Longrightarrow; 9x<= 15 ;Longrightarrow; x<= 159=53
Intersecção com x>tfrac65
xinl(tfrac65,,tfrac53r]

Passo 8

Juntando as duas regiões não vazias e lembrando que x=-3 está fora do domínio, obtemos a solução
xin l[tfrac911,,tfrac65r);cup;l(tfrac65,,tfrac53r] ;;=;; l[tfrac911,,tfrac53r]

Resposta

l[tfrac911,,tfrac53r]

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