Resolva as inequações dos exercícios abaixo: x^2 + x < x^3 + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação que você enviou: . Esse tipo de problema faz parte da matéria de Funções Algébricas e Inequações Polinomiais. Para resolver, vamos precisar reorganizar os termos da inequação e encontrar os valores de que satisfazem a condição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da inequação para facilitar a análise. Assim, subtraímos de ambos os lados:
Simplificando, temos:
Ou seja, nossa inequação fica:

Passo 3

Agora, precisamos fatorar o polinômio do lado direito para facilitar a resolução. Vamos procurar fatores comuns ou utilizar o método de agrupamento. Observando o polinômio , podemos agrupar os termos da seguinte maneira:
Fatorando , temos:
Podemos reconhecer que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada como:
Portanto, a fatoração completa fica:

Passo 4

Com a inequação fatorada, temos:
Vamos analisar cada fator:
  1. : Esse termo é sempre não negativo porque qualquer número ao quadrado é positivo ou zero. Ele é zero quando .
  2. : Esse termo muda de sinal dependendo do valor de . É positivo quando e negativo quando .

Passo 5

Para determinar onde o produto é maior que zero, vamos considerar os intervalos definidos pelos pontos críticos e :
  1. Intervalo :
    • Produto:
  2. Intervalo :
    • Produto:
  3. Intervalo :
    • Produto:

Passo 6

Além disso, devemos considerar os pontos onde o produto é igual a zero:
  • Em e , o produto é zero.
Como a nossa inequação é estritamente maior que zero, não incluímos esses pontos na solução.

Resposta

A solução da inequação é todos os valores de maiores que , exceto . Em notação de intervalo:

Exercícios relacionados