Resolva as inequações dos exercícios abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente precisa resolver a inequação:
Isso envolve álgebra de frações e inequações. Para resolver isso, vamos precisar manipular essas frações e encontrar os valores de
que fazem a inequação ser verdadeira.
Passo 2
Vamos começar trazendo todas as frações para um lado da inequação. Para isso, subtraímos
de ambos os lados:
Passo 3
Agora, precisamos ter um denominador comum para subtrair as frações. Os denominadores são
e
, então o denominador comum será
. Multiplicamos cada fração pelo denominador comum:
Passo 4
Vamos expandir os numeradores para simplificar a expressão:
Substituindo de volta na inequação:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Então, a inequação fica:
Passo 6
Vamos analisar os pontos onde o numerador ou denominadores são zero, pois eles dividem a linha dos números em intervalos a serem testados:
-
: Vamos usar a fórmula de Bhaskara para verificar se tem raízes reais.
Como
é negativo, o numerador nunca será zero e o polinômio
é sempre positivo.
- Denominadores:
-
Passo 7
Como o numerador é sempre positivo, o sinal da fração dependerá do denominador
. Vamos considerar os intervalos definidos pelos pontos críticos
e
:
-
Intervalo
: -
(porque ) -
(porque ) - Denominador: positivo
negativo = negativo - Fração: positivo / negativo = negativo
-
-
Intervalo
: -
(porque ) -
(porque ) - Denominador: positivo
positivo = positivo - Fração: positivo / positivo = positivo
-
-
Intervalo
: -
(porque ) -
(porque ) - Denominador: negativo
positivo = negativo - Fração: positivo / negativo = negativo
-
Passo 8
Agora, queremos que a fração seja menor que zero, ou seja, negativa. Observando os intervalos:
- Intervalo
: Fração negativa - Intervalo
: Fração positiva - Intervalo
: Fração negativa
Então, a inequação é verdadeira quando
está nos intervalos
ou
.
Resposta
A solução da inequação é
.