Resolva as inequações dos exercícios abaixo: (x+1)/(2-x) < x/(x+3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente precisa resolver a inequação:
Isso envolve álgebra de frações e inequações. Para resolver isso, vamos precisar manipular essas frações e encontrar os valores de que fazem a inequação ser verdadeira.

Passo 2

Vamos começar trazendo todas as frações para um lado da inequação. Para isso, subtraímos de ambos os lados:

Passo 3

Agora, precisamos ter um denominador comum para subtrair as frações. Os denominadores são e , então o denominador comum será . Multiplicamos cada fração pelo denominador comum:

Passo 4

Vamos expandir os numeradores para simplificar a expressão:
Substituindo de volta na inequação:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Então, a inequação fica:

Passo 6

Vamos analisar os pontos onde o numerador ou denominadores são zero, pois eles dividem a linha dos números em intervalos a serem testados:
  • : Vamos usar a fórmula de Bhaskara para verificar se tem raízes reais.
Como é negativo, o numerador nunca será zero e o polinômio é sempre positivo.
  • Denominadores:

Passo 7

Como o numerador é sempre positivo, o sinal da fração dependerá do denominador . Vamos considerar os intervalos definidos pelos pontos críticos e :
  1. Intervalo :
    • (porque )
    • (porque )
    • Denominador: positivo negativo = negativo
    • Fração: positivo / negativo = negativo
  2. Intervalo :
    • (porque )
    • (porque )
    • Denominador: positivo positivo = positivo
    • Fração: positivo / positivo = positivo
  3. Intervalo :
    • (porque )
    • (porque )
    • Denominador: negativo positivo = negativo
    • Fração: positivo / negativo = negativo

Passo 8

Agora, queremos que a fração seja menor que zero, ou seja, negativa. Observando os intervalos:
  • Intervalo : Fração negativa
  • Intervalo : Fração positiva
  • Intervalo : Fração negativa
Então, a inequação é verdadeira quando está nos intervalos ou .

Resposta

A solução da inequação é .

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