Resolva as inequações dos exercícios 1. a 6.
egin{equation*}
\frac{x+1}{2-x}<\frac{x}{x+3}
\end{equation*}

Passo 1

Estamos resolvendo a inequação de função racional x+12-x < xx+3. Esse tipo de problema exige análise de domínio, redução a um único quociente e estudo do sinal do numerador e do denominador.

Passo 2

Como temos denominadores 2 - x e x + 3, eles não podem ser zero. Logo, o domínio é dado por x neq 2 e x neq -3.

Passo 3

Subtraímos xx+3 de ambos os lados para obter uma única expressão a ser comparada com zero:
x+12-x - xx+3 < 0

Passo 4

Para combinar as frações, usamos o denominador comum (2-x)(x+3) e escrevemos:
(x+1)(x+3) - x(2-x)(2-x)(x+3) < 0

Passo 5

Calculamos o numerador:
(x+1)(x+3) - x(2-x) = x^2 +4x +3 - (2x - x^2) = 2x^2 +2x +3
Como o discriminante De, esse polinômio é sempre positivo.

Passo 6

Como o numerador é sempre positivo, o sinal da fração depende apenas do denominador. Portanto, a inequação se reduz a:
(2-x)(x+3) < 0

Passo 7

Estudamos o sinal de (2-x)(x+3). Os zeros são em x=-3 e x=2. Testando intervalos:
  • Para x<-3: 2-x>0 e x+3<0 ⇒ produto negativo.
  • Para -3: 2-x>0 e x+3>0 ⇒ produto positivo.
  • Para x>2: 2-x<0 e x+3>0 ⇒ produto negativo.
    Queremos que seja menor que zero, então vale para x<-3 ou x>2.

Resposta

(-\infty,-3)\cup(2,\infty)

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