Resolva as inequações dos exercícios 1. a 6.
egin{equation*}
\frac{x+1}{2-x}<\frac{x}{x+3}
\end{equation*}
egin{equation*}
\frac{x+1}{2-x}<\frac{x}{x+3}
\end{equation*}
Passo 1
Estamos resolvendo a inequação de função racional
. Esse tipo de problema exige análise de domínio, redução a um único quociente e estudo do sinal do numerador e do denominador.
Passo 2
Como temos denominadores
e
, eles não podem ser zero. Logo, o domínio é dado por
e
.
Passo 3
Subtraímos
de ambos os lados para obter uma única expressão a ser comparada com zero:
Passo 4
Para combinar as frações, usamos o denominador comum
e escrevemos:
Passo 5
Calculamos o numerador:
Como o discriminante
, esse polinômio é sempre positivo.
Passo 6
Como o numerador é sempre positivo, o sinal da fração depende apenas do denominador. Portanto, a inequação se reduz a:
Passo 7
Estudamos o sinal de
. Os zeros são em
e
. Testando intervalos:
- Para
: e ⇒ produto negativo. - Para
: e ⇒ produto positivo. - Para
: e ⇒ produto negativo.
Queremos que seja menor que zero, então vale paraou .
Resposta
(-\infty,-3)\cup(2,\infty)