Resolva as inequações exponenciais:
5^x / 2 <=(15)^x-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação exponencial 5^x / 2 <= (15)^x-3. Aqui estamos trabalhando com exponenciais, que é uma parte da matemática que lida com potências de números. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades das potências e das inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o lado direito da inequação. Sabia que 15 pode ser escrito como 5^-1? Então, (15)^x-3 vira (5^-1)^x-3.

Passo 3

Agora, usando a propriedade de potências (a^b)^c = a^b cdot c, podemos simplificar ainda mais:
(5^-1)^x-3 = 5^-1 cdot (x-3) = 5^-(x-3) = 5^-x + 3.

Passo 4

Agora nossa inequação está assim:
5^x/2 <= 5^-x + 3.
Como as bases são iguais (ambas são potências de 5), podemos comparar os expoentes diretamente. Ou seja, se 5^A <= 5^B, então A <= B se a base for maior que 1, o que é o caso aqui.

Passo 5

Igualando os expoentes:
x2 <= -x + 3.
Agora precisamos resolver essa inequação linear para encontrar o valor de x.

Passo 6

Primeiro, vamos somar x em ambos os lados para trazer todas as variáveis para um lado:
x2 + x <= 3.
Para somar x2 + x, lembramos que x = 2x2, então:
x2 + 2x2 = 3x2.
Então, temos:
3x2 <= 3.

Passo 7

Agora, para isolarmos x, multiplicamos ambos os lados por 23:
3x2 cdot 23 <= 3 cdot 23.
Isso simplifica para:
x <= 2.

Passo 8

Então, a solução da inequação é todos os números reais x que são menores ou iguais a 2.

Resposta

A solução da inequação é x <= 2.

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