Resolva as inequações exponenciais:
(12)^x^2-8 x+5>4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma inequação exponencial que é assim: (12)^x^2-8 x+5 > 4. O assunto aqui é inequações exponenciais, que basicamente envolve resolver desigualdades onde a variável está no expoente. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com potências e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a inequação para facilitar. Sabemos que 12 pode ser escrito como 2^-1. Então, a expressão fica:
(2^-1)^x^2-8x+5 > 4
Quando temos uma potência de outra potência, a gente multiplica os expoentes. Então:
2^- (x^2-8x+5) > 4
Isso simplifica para:
2^-x^2 +8x -5 > 4

Passo 3

Agora, vamos reescrever o 4 como uma potência de 2 para facilitar a comparação. Sabemos que 4 = 2^2. Então, a inequação fica:
2^-x^2 +8x -5 > 2^2

Passo 4

Quando temos a mesma base nas duas potências, podemos comparar os expoentes. Mas atenção: o coeficiente do expoente do 2 do lado esquerdo é negativo. Então, precisamos inverter a desigualdade ao comparar os expoentes. Ou seja, se 2^a > 2^b e a base 2 é positiva e maior que 1, então a > b. Mas como está com negativo, vale -x^2 +8x -5 > 2 não, espera.
Na verdade, a base 2 é maior que 1, então podemos manter a desigualdade sem inverter. Portanto:
- x^2 +8x -5 > 2

Passo 5

Vamos resolver a inequação quadrática:
- x^2 +8x -5 > 2
Primeiro, vamos trazer tudo para o lado esquerdo:
- x^2 +8x -5 -2 > 0 - x^2 +8x -7 > 0
Para facilitar, podemos multiplicar todos os termos por -1, lembrando que ao multiplicar por um número negativo a desigualdade inverte:
x^2 -8x +7 < 0

Passo 6

Agora, temos uma inequação quadrática mais simples:
x^2 -8x +7 < 0
Vamos resolver essa desigualdade encontrando as raízes da equação quadrática associada:
x^2 -8x +7 = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
x = 8 pm raiz64 -282 = 8 pm raiz362 = 8 pm 62
Então, as raízes são:
x = 8 + 62 = 7 x = 8 - 62 = 1

Passo 7

Agora que temos as raízes x = 1 e x = 7, vamos analisar onde a expressão x^2 -8x +7 é menor que zero. Como a parábola abre para cima (coeficiente de x^2 positivo), a expressão será negativa entre as raízes.
Então, a solução da inequação x^2 -8x +7 < 0 é:
1 < x < 7

Resposta

A solução da inequação é todos os números reais x tais que:
1 < x < 7

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