Resolva as inequações exponenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma inequação exponencial que é assim:
. O assunto aqui é inequações exponenciais, que basicamente envolve resolver desigualdades onde a variável está no expoente. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com potências e desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a inequação para facilitar. Sabemos que
pode ser escrito como
. Então, a expressão fica:
Quando temos uma potência de outra potência, a gente multiplica os expoentes. Então:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos reescrever o 4 como uma potência de 2 para facilitar a comparação. Sabemos que
. Então, a inequação fica:
Passo 4
Quando temos a mesma base nas duas potências, podemos comparar os expoentes. Mas atenção: o coeficiente do expoente do 2 do lado esquerdo é negativo. Então, precisamos inverter a desigualdade ao comparar os expoentes. Ou seja, se
e a base
é positiva e maior que 1, então
. Mas como está com negativo, vale
não, espera.
Na verdade, a base
é maior que 1, então podemos manter a desigualdade sem inverter. Portanto:
Passo 5
Vamos resolver a inequação quadrática:
Primeiro, vamos trazer tudo para o lado esquerdo:
Para facilitar, podemos multiplicar todos os termos por
, lembrando que ao multiplicar por um número negativo a desigualdade inverte:
Passo 6
Agora, temos uma inequação quadrática mais simples:
Vamos resolver essa desigualdade encontrando as raízes da equação quadrática associada:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 7
Agora que temos as raízes
e
, vamos analisar onde a expressão
é menor que zero. Como a parábola abre para cima (coeficiente de
positivo), a expressão será negativa entre as raízes.
Então, a solução da inequação
é:
Resposta
A solução da inequação é todos os números reais
tais que: