Resolva as inequações.
-\frac{1}{4} \leq \frac{3 x-4}{7} \leq \frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá a inequação composta
-\frac{1}{4}\leq\frac{3x-4}{7}\leq\frac{1}{2}.
O que se pede é encontrar todos os valores de x que satisfazem essa desigualdade (ou seja, resolver para x).
Informações relevantes dadas: o termo central é \dfrac{3x-4}{7} e os limites são -\dfrac{1}{4} e \dfrac{1}{2}.

Passo 2

Estratégia (em linguagem simples): tratar a desigualdade como uma cadeia de três membros e aplicar a mesma operação a todos os três termos para “desfazer” as transformações sobre x. Regras importantes que vamos usar:
  • Somar ou subtrair a mesma quantidade em todos os termos preserva as desigualdades. Por exemplo, de 1\leq a\leq 3 segue 1+2\leq a+2\leq 3+2.
  • Multiplicar ou dividir todos os termos por um número positivo também preserva as desigualdades; se o número for negativo, as setas invertam (mas aqui multiplicaremos/dividiremos por números positivos, então não invertemos).
    Vou aplicar essas regras passo a passo para isolar x.

Passo 3

Primeiro passo algébrico: multiplicar os três termos por 7 (é positivo, então os sinais das desigualdades se mantêm). Aplicando:
7\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\leq 7\cdot\frac{3x-4}{7}\leq 7\cdot\frac{1}{2}.
Calcule cada produto:
-\frac{7}{4}\leq 3x-4\leq \frac{7}{2}.

Passo 4

Segundo passo: isolar 3x somando 4 em todos os termos (somar a mesma coisa preserva as desigualdades). Escrevendo:
-\frac{7}{4}+4 \leq 3x-4+4 \leq \frac{7}{2}+4.
Agora calculamos as somas com frações. Para somar -\dfrac{7}{4}+4, escrevemos 4=\dfrac{16}{4}, então
-\frac{7}{4}+4 = -\frac{7}{4}+\frac{16}{4}=\frac{9}{4}.
Para \dfrac{7}{2}+4, escrevemos 4=\dfrac{8}{2}, então
\frac{7}{2}+4=\frac{7}{2}+\frac{8}{2}=\frac{15}{2}.
Portanto obtemos
\frac{9}{4}\leq 3x\leq \frac{15}{2}.

Passo 5

Terceiro passo: dividir todos os termos por 3 (positivo, então sem inversão). Fazendo a divisão:
\frac{9}{4}\div 3 \leq x \leq \frac{15}{2}\div 3.
Fazendo as divisões de frações: dividir por 3 é multiplicar por \dfrac{1}{3},
\frac{9}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}, \qquad \frac{15}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}.
Logo
\frac{3}{4}\leq x\leq \frac{5}{2}.

Passo 6

Verificações rápidas e interpretação: os extremos foram preservados porque em cada etapa usamos operações que mantêm as desigualdades. Vamos checar os extremos na expressão original para ter certeza:
  • Para x=\dfrac{3}{4}: 3x-4=\dfrac{9}{4}-\dfrac{16}{4}=-\dfrac{7}{4}, então \dfrac{3x-4}{7}=-\dfrac{1}{4} (bate com o limite esquerdo).
  • Para x=\dfrac{5}{2}: 3x-4=\dfrac{15}{2}-\dfrac{8}{2}=\dfrac{7}{2}, então \dfrac{3x-4}{7}=\dfrac{1}{2} (bate com o limite direito).
    Também um valor interno, por exemplo x=1, dá \dfrac{3\cdot1-4}{7}=-\dfrac{1}{7} que está entre -\dfrac{1}{4} e \dfrac{1}{2}, confirmando que a solução faz sentido.

Resposta

x\in\left[\dfrac{3}{4},\dfrac{5}{2}\right]

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