Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado dá a inequação composta
O que se pede é encontrar todos os valores de
que satisfazem essa desigualdade (ou seja, resolver para
).
Informações relevantes dadas: o termo central é e os limites são
e
.
Informações relevantes dadas: o termo central é
Passo 2
Estratégia (em linguagem simples): tratar a desigualdade como uma cadeia de três membros e aplicar a mesma operação a todos os três termos para “desfazer” as transformações sobre
. Regras importantes que vamos usar:
- Somar ou subtrair a mesma quantidade em todos os termos preserva as desigualdades. Por exemplo, de
segue . - Multiplicar ou dividir todos os termos por um número positivo também preserva as desigualdades; se o número for negativo, as setas invertam (mas aqui multiplicaremos/dividiremos por números positivos, então não invertemos).
Vou aplicar essas regras passo a passo para isolar.
Passo 3
Primeiro passo algébrico: multiplicar os três termos por
(é positivo, então os sinais das desigualdades se mantêm). Aplicando:
Calcule cada produto:
Passo 4
Segundo passo: isolar
somando
em todos os termos (somar a mesma coisa preserva as desigualdades). Escrevendo:
Agora calculamos as somas com frações. Para somar
, escrevemos
, então
Para
, escrevemos
, então
Portanto obtemos
Passo 5
Terceiro passo: dividir todos os termos por
(positivo, então sem inversão). Fazendo a divisão:
Fazendo as divisões de frações: dividir por
é multiplicar por
,
Logo
Passo 6
Verificações rápidas e interpretação: os extremos foram preservados porque em cada etapa usamos operações que mantêm as desigualdades. Vamos checar os extremos na expressão original para ter certeza:
- Para
: , então (bate com o limite esquerdo). - Para
: , então (bate com o limite direito).
Também um valor interno, por exemplo, dá que está entre e , confirmando que a solução faz sentido.