Resolva as inequações.
\left(\frac{1-2 x}{3}\right)-\left(\frac{1+3 x}{2}\right) \geq 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\left(\frac{1-2x}{3}\right)-\left(\frac{1+3x}{2}\right) \geq 2.
Ou seja, encontrar todos os valores de x que deixam verdadeira essa desigualdade. Vou trabalhar passo a passo, explicando cada operação.

Passo 2

Primeira ideia prática: reduzir a expressão do lado esquerdo a uma única fração para ficar mais fácil manipular. Para somar/subtrair frações é preciso um denominador comum. Os denominadores são 3 e 2; o mínimo múltiplo comum é 6. Vou reescrever cada fração com denominador 6.

Passo 3

Reescrevendo com denominador 6:
\frac{1-2x}{3} = \frac{2(1-2x)}{6}, \qquad \frac{1+3x}{2} = \frac{3(1+3x)}{6}.
Subtraindo as duas frações com mesmo denominador:
\left(\frac{1-2x}{3}\right)-\left(\frac{1+3x}{2}\right) = \frac{2(1-2x)-3(1+3x)}{6}.

Passo 4

Agora calculo o numerador passo a passo (distributiva):
2(1-2x)-3(1+3x)=2-4x-3-9x=(2-3)+(-4x-9x)=-1-13x.
Portanto a inequação vira
\frac{-1-13x}{6} \geq 2.

Passo 5

Para eliminar a fração, multiplico ambos os lados por 6. Como 6 é positivo, o sentido da desigualdade não muda. Assim:
-1-13x \geq 12.
Isolando x: primeiro passo, somo 1 em ambos os lados:
-13x \geq 13.
Agora divido por -13. Importante: ao dividir por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte. Logo
x \leq -1.

Passo 6

Vamos checar rapidamente com exemplos (sempre bom para ter confiança):
  • Para x=-1: \dfrac{1-2(-1)}{3}-\dfrac{1+3(-1)}{2}=\dfrac{3}{3}-\dfrac{-2}{2}=1-(-1)=2, satisfaz a igualdade.
  • Para x=-2: cálculo dá \dfrac{5}{3}-\left(-\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{25}{6}\approx4{,}17\ge2, satisfaz.
  • Para x=0: dá \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{6}<2, não satisfaz.
    Esses testes confirmam que a solução encontrada faz sentido.

Resposta

(-\infty,-1]

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