Resolva as inequações.
\frac{1}{6}<\frac{2 x-13}{12}<\frac{2}{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação composta e encontrar todos os valores de x que satisfazem:
\frac{1}{6} < \frac{2x-13}{12} < \frac{2}{3}.
Informações dadas:
  • A desigualdade é estrita nos dois lados (sinais <).
  • A expressão no meio é \dfrac{2x-13}{12}.
    O objetivo é determinar o conjunto de todos os x que tornam verdadeira essa desigualdade composta.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando temos uma desigualdade composta do tipo
a < \frac{p(x)}{c} < b
com c>0, é conveniente eliminar o denominador multiplicando todos os três termos por c. Isso simplifica a expressão sem mudar os sinais, porque multiplicar por um número positivo preserva as desigualdades. Depois disso resolvemos a desigualdade linear resultante aplicando operações elementares (somar ou subtrair um mesmo número em todas as partes, dividir por um número positivo etc.), lembrando sempre que multiplicar ou dividir por número negativo inverteria os sinais — aqui não será o caso pois multiplicaremos e dividiremos por números positivos.

Passo 3

Multiplico todos os três termos da desigualdade por 12 (que é positivo), para eliminar o denominador:
12\cdot\frac{1}{6} < 12\cdot\frac{2x-13}{12} < 12\cdot\frac{2}{3}.

Passo 4

Calculo cada produto:
12\cdot\frac{1}{6}=\frac{12}{6}=2, \qquad 12\cdot\frac{2x-13}{12}=2x-13, \qquad 12\cdot\frac{2}{3}=\frac{24}{3}=8.
Logo a desigualdade fica
2 < 2x-13 < 8.

Passo 5

Agora isolo x. Primeiro somo 13 a todas as partes (somar o mesmo número em todas as partes preserva as desigualdades):
2+13 < 2x-13+13 < 8+13,
ou seja
15 < 2x < 21.

Passo 6

Por fim divido todas as partes por 2 (novamente, dividir por número positivo preserva os sinais):
\frac{15}{2} < x < \frac{21}{2}.
Interpretando: os extremos não pertencem à solução porque as desigualdades eram estritas.

Passo 7

Escrevendo a solução em notação de intervalo e em forma mais intuitiva:
x\in\left(\frac{15}{2},\frac{21}{2}\right).
Em decimal isso corresponde a x\in(7{,}5,\;10{,}5). Um teste rápido: para x=8 (que está no intervalo),
\frac{2\cdot8-13}{12}=\frac{16-13}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4},
e realmente \frac{1}{6}<\frac{1}{4}<\frac{2}{3}, então faz sentido.

Resposta

\left(\dfrac{15}{2},\dfrac{21}{2}\right)

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