Resolva as inequações.
3(3 x-2)+2\left(x+\frac{1}{2}\right) \leq 19-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação abaixo, isto é, encontrar todos os reais x que a satisfaçam:
3\bigl(3x-2\bigr)+2\bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr)\leq 19-x
Informações dadas:
  • A inequação acima é a única informação do enunciado.
  • Deve-se determinar o conjunto de todos os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Vamos aplicar a propriedade distributiva para eliminar os parênteses. Lembre que a propriedade distributiva diz que \,a(b+c)=ab+ac. Aplicando-a termo a termo:
3\bigl(3x-2\bigr)=3\cdot 3x-3\cdot 2=9x-6
2\bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr)=2\cdot x+2\cdot \tfrac{1}{2}=2x+1

Passo 3

Substituindo essas expressões na inequação e juntando os termos do lado esquerdo:
9x-6+2x+1\leq 19-x
Agora somamos os coeficientes de x e os termos constantes do lado esquerdo:
(9x+2x)+(-6+1)=11x-5
Logo a inequação fica
11x-5\leq 19-x

Passo 4

Passo para agrupar todos os termos com x de um lado. Para isso, some x em ambos os membros (isso não altera a desigualdade porque somar o mesmo número em ambos os lados mantém a relação):
11x-5 + x \leq 19 - x + x
12x-5\leq 19

Passo 5

Isolando x: primeiro some 5 em ambos os membros:
12x-5+5\leq 19+5
12x\leq 24
Agora divida ambos os lados por 12. Como 12 é positivo, a direção da desigualdade não muda. Lembre que se dividíssemos por um número negativo, a desigualdade inverteria.
x\leq \tfrac{24}{12}
x\leq 2

Passo 6

Interpretando o resultado: todos os números reais menores ou iguais a 2 satisfazem a inequação. Em notação de intervalo, isso é (-\infty,2].
Vamos checar rapidamente com alguns valores (controle de sanidade):
  • Para x=2: calcule a esquerda original 3(3\cdot2-2)+2(2+\tfrac{1}{2})=12+5=17 e a direita 19-2=17. Temos 17\leq17, verdadeiro.
  • Para x=3: esquerda 3(9-2)+2(3+\tfrac{1}{2})=21+7=28, direita 19-3=16. 28\leq16 é falso, então 3 não pertence à solução (coerente com x\leq2).
  • Para x=0: esquerda 3(0-2)+2(0+\tfrac{1}{2})=-6+1=-5, direita 19-0=19. -5\leq19 é verdadeiro.

Resposta

x\leq 2
(-\infty,2]

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