Resolva as inequações:
((x-1)(1+x)(2-3 x)<0)

Passo 1

O enunciado dá a inequação (x-1)(1+x)(2-3x)<0 e pede encontrar todos os valores de x que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão está fatorada em três fatores lineares: (x-1), (1+x) e (2-3x).
  • A desigualdade é estrita: procuramos onde o produto é menor que 0 (ou seja, negativo).
  • Não devemos incluir pontos onde algum fator é zero (porque a desigualdade é estrita).

Passo 2

Ideia geral (fórmula conceitual e por que funciona).
Quando temos uma desigualdade com produto de fatores, como (\text{fator}_1)\cdot(\text{fator}_2)\cdot\cdots<0, procedemos assim:
  • Encontramos as raízes (zeros) de cada fator; esses pontos dividem a reta em intervalos.
  • Em cada intervalo a cada fator tem sinal constante (positivo ou negativo), então o produto tem sinal constante.
  • Testamos o sinal do produto em um ponto de cada intervalo ou usamos a regra de multiplicidade: se uma raiz tem multiplicidade ímpar o sinal do produto muda ao passar por ela; se a multiplicidade é par o sinal não muda.
    Aqui os fatores são lineares e aparecem uma vez (multiplicidade 1, ímpar), então o sinal do produto muda ao atravessar cada raiz.

Passo 3

Encontremos as raízes (resolvendo cada fator igual a zero).
x-1=0 \;\Rightarrow\; x=1.
1+x=0 \;\Rightarrow\; x=-1.
2-3x=0 \;\Rightarrow\; 3x=2 \;\Rightarrow\; x=\tfrac{2}{3}.
Portanto as raízes são x=-1, x=\tfrac{2}{3} e x=1.

Passo 4

Ordenando essas raízes na reta numérica:
-1 < \tfrac{2}{3} < 1.
Essas três raízes dividem a reta em quatro intervalos:
(-\infty,-1),\quad (-1,\tfrac{2}{3}),\quad \big(\tfrac{2}{3},1\big),\quad (1,\infty).

Passo 5

Vamos determinar o sinal do produto em cada intervalo testando um ponto representante. Para cada ponto, calculo separadamente o sinal de cada fator e depois o produto.
Intervalo (-\infty,-1). Teste x=-2.
x-1=-3<0,\qquad 1+x=-1<0,\qquad 2-3x=2-3(-2)=2+6=8>0.
Produto: (-)\cdot(-)\cdot(+)=+. Logo o produto é positivo em (-\infty,-1).
Intervalo (-1,\tfrac{2}{3}). Teste x=0.
x-1=-1<0,\qquad 1+x=1>0,\qquad 2-3x=2>0.
Produto: (-)\cdot(+)\cdot(+)=-. Logo o produto é negativo em (-1,\tfrac{2}{3}).
Intervalo (\tfrac{2}{3},1). Teste x=0{,}9 (ou x=0{,}8 se preferir).
x-1<0,\qquad 1+x>0,\qquad 2-3x=2-3(0{,}9)=2-2{,}7=-0{,}7<0.
Produto: (-)\cdot(+)\cdot(-)=+. Logo o produto é positivo em (\tfrac{2}{3},1).
Intervalo (1,\infty). Teste x=2.
x-1=1>0,\qquad 1+x=3>0,\qquad 2-3x=2-6=-4<0.
Produto: (+)\cdot(+)\cdot(-)=-. Logo o produto é negativo em (1,\infty).

Passo 6

Como queremos os x tais que o produto seja menor que zero, selecionamos os intervalos onde determinamos sinal negativo:
(-1,\tfrac{2}{3})\quad\text{e}\quad(1,\infty).
Os pontos x=-1, x=\tfrac{2}{3} e x=1 não entram na solução porque em cada um o produto vale zero (a desigualdade é estrita).

Passo 7

Resumo do raciocínio para usar na prova (dica prática):
  • Sempre fatorar (se já está fatorado, ótimo).
  • Encontrar raízes e ordená-las.
  • Verificar multiplicidades (aqui todas ímpares, então sinal troca em cada raiz).
  • Testar um ponto em cada intervalo ou usar a regra da troca de sinal para decidir se o produto é positivo ou negativo nesse intervalo.
    Exemplo rápido extra para fixar: se fosse (x-2)^2(x+1)<0, a raiz x=2 tem multiplicidade 2 (par), então o sinal não muda ao passar por 2; bastaria testar intervalos e perceber que a presença de um quadrado impede a troca de sinal naquele ponto.

Resposta

\displaystyle (-1,\tfrac{2}{3})\cup(1,\infty)

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