Resolva as inequações:
((x-1)(1+x)(2-3 x)<0)
((x-1)(1+x)(2-3 x)<0)
Passo 1
O enunciado dá a inequação
e pede encontrar todos os valores de
que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão está fatorada em três fatores lineares:
, e . - A desigualdade é estrita: procuramos onde o produto é menor que
(ou seja, negativo). - Não devemos incluir pontos onde algum fator é zero (porque a desigualdade é estrita).
Passo 2
Ideia geral (fórmula conceitual e por que funciona).
Quando temos uma desigualdade com produto de fatores, como , procedemos assim:
Quando temos uma desigualdade com produto de fatores, como
- Encontramos as raízes (zeros) de cada fator; esses pontos dividem a reta em intervalos.
- Em cada intervalo a cada fator tem sinal constante (positivo ou negativo), então o produto tem sinal constante.
- Testamos o sinal do produto em um ponto de cada intervalo ou usamos a regra de multiplicidade: se uma raiz tem multiplicidade ímpar o sinal do produto muda ao passar por ela; se a multiplicidade é par o sinal não muda.
Aqui os fatores são lineares e aparecem uma vez (multiplicidade, ímpar), então o sinal do produto muda ao atravessar cada raiz.
Passo 3
Encontremos as raízes (resolvendo cada fator igual a zero).
Portanto as raízes são
,
e
.
Passo 4
Ordenando essas raízes na reta numérica:
Essas três raízes dividem a reta em quatro intervalos:
Passo 5
Vamos determinar o sinal do produto em cada intervalo testando um ponto representante. Para cada ponto, calculo separadamente o sinal de cada fator e depois o produto.
Intervalo
. Teste
.
Produto:
. Logo o produto é positivo em
.
Intervalo
. Teste
.
Produto:
. Logo o produto é negativo em
.
Intervalo
. Teste
(ou
se preferir).
Produto:
. Logo o produto é positivo em
.
Intervalo
. Teste
.
Produto:
. Logo o produto é negativo em
.
Passo 6
Como queremos os
tais que o produto seja menor que zero, selecionamos os intervalos onde determinamos sinal negativo:
Os pontos
,
e
não entram na solução porque em cada um o produto vale zero (a desigualdade é estrita).
Passo 7
Resumo do raciocínio para usar na prova (dica prática):
- Sempre fatorar (se já está fatorado, ótimo).
- Encontrar raízes e ordená-las.
- Verificar multiplicidades (aqui todas ímpares, então sinal troca em cada raiz).
- Testar um ponto em cada intervalo ou usar a regra da troca de sinal para decidir se o produto é positivo ou negativo nesse intervalo.
Exemplo rápido extra para fixar: se fosse, a raiz tem multiplicidade (par), então o sinal não muda ao passar por ; bastaria testar intervalos e perceber que a presença de um quadrado impede a troca de sinal naquele ponto.