Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas:
- Há duas frações lineares em
com denominadores e . - A incógnita é
. - O objetivo é encontrar todos os valores de
que tornam a desigualdade verdadeira.
Passo 2
Estratégia inicial (explicação didática): quando temos frações com denominadores diferentes, é conveniente eliminar os denominadores para simplificar os cálculos. Para isso multiplicamos ambos os lados da desigualdade pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores. Aqui os denominadores são
e
; o mínimo múltiplo comum é
. Multiplicar ambos os lados por
é permitido e não altera o sentido da desigualdade porque
é positivo. Portanto aplicamos:
Passo 3
Fazendo a multiplicação e simplificando termo a termo:
Cada termo fica:
Aqui usei que
e
.
Passo 4
Agora distribuindo e juntando termos semelhantes:
Somando os termos constantes e os termos com
:
Passo 5
Isolando a incógnita: primeiro subtraio
de ambos os lados (somar ou subtrair o mesmo número nos dois lados mantém a desigualdade):
Agora preciso dividir por
. Regra importante (aula rápida): ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte. Exemplo curto: se
, dividindo por
obtemos
. Aplicando isso aqui, dividindo por
(negativo) inverto o sinal:
Passo 6
Interpretação final e verificação rápida: a solução é todos os
maiores que
. Para checar, testemos
(que está na solução): substituindo em
dá
, então faz sentido. Se pegarmos
(fora da solução), obtemos
, então também consistente.