Resolva as inequações.
\frac{3 x-1}{4}+\frac{1-4 x}{2}<1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{3x-1}{4}+\frac{1-4x}{2}<1.
Informações dadas:
  • Há duas frações lineares em x com denominadores 4 e 2.
  • A incógnita é x.
  • O objetivo é encontrar todos os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Estratégia inicial (explicação didática): quando temos frações com denominadores diferentes, é conveniente eliminar os denominadores para simplificar os cálculos. Para isso multiplicamos ambos os lados da desigualdade pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores. Aqui os denominadores são 4 e 2; o mínimo múltiplo comum é 4. Multiplicar ambos os lados por 4 é permitido e não altera o sentido da desigualdade porque 4 é positivo. Portanto aplicamos:
4\left(\frac{3x-1}{4}+\frac{1-4x}{2}\right) < 4\cdot 1.

Passo 3

Fazendo a multiplicação e simplificando termo a termo:
4\cdot\frac{3x-1}{4} + 4\cdot\frac{1-4x}{2} < 4.
Cada termo fica:
3x-1 + 2(1-4x) < 4.
Aqui usei que 4\cdot\frac{3x-1}{4}=3x-1 e 4\cdot\frac{1-4x}{2}=2(1-4x).

Passo 4

Agora distribuindo e juntando termos semelhantes:
3x-1 + 2 - 8x < 4.
Somando os termos constantes e os termos com x:
(3x-8x) + (-1+2) < 4
-5x + 1 < 4.

Passo 5

Isolando a incógnita: primeiro subtraio 1 de ambos os lados (somar ou subtrair o mesmo número nos dois lados mantém a desigualdade):
-5x < 3.
Agora preciso dividir por -5. Regra importante (aula rápida): ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte. Exemplo curto: se -2y < 6, dividindo por -2 obtemos y > -3. Aplicando isso aqui, dividindo por -5 (negativo) inverto o sinal:
x > -\frac{3}{5}.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida: a solução é todos os x maiores que -\tfrac{3}{5}. Para checar, testemos x=0 (que está na solução): substituindo em \frac{3x-1}{4}+\frac{1-4x}{2} \frac{-1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}<1, então faz sentido. Se pegarmos x=-1 (fora da solução), obtemos \frac{-4}{4}+\frac{5}{2}=-1+2{,}5=1{,}5\not<1, então também consistente.

Resposta

x>-\dfrac{3}{5}

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