Resolva as inequações.
\frac{2}{5} x+1 \leq 2\left(x+\frac{3}{5}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a inequação
\frac{2}{5}x+1 \leq 2\!\left(x+\frac{3}{5}\right)
e pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem essa desigualdade. Ou seja: resolver a inequação e escrever a solução em termos de x.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: eliminar o parênteses do lado direito, multiplicando 2 por cada termo dentro do parêntese. Explicando: a propriedade distributiva diz que a(b+c)=ab+ac. Aplicando aqui,
2\!\left(x+\frac{3}{5}\right)=2x+\frac{6}{5}.
Então a inequação fica
\frac{2}{5}x+1 \leq 2x+\frac{6}{5}.

Passo 3

Agora vamos isolar os termos com x de um lado e os termos numéricos do outro. Para isso subtraímos 2x de ambos os lados (quando somamos ou subtraímos o mesmo número dos dois lados, a desigualdade permanece com o mesmo sentido). Subtraindo 2x de ambos os lados:
\frac{2}{5}x - 2x + 1 \leq \frac{6}{5}.

Passo 4

Em seguida subtraímos 1 de ambos os lados para deixar só termos com x no lado esquerdo (novamente, subtrair o mesmo número dos dois lados não altera o sentido da desigualdade):
\frac{2}{5}x - 2x \leq \frac{6}{5} - 1.
Agora vamos calcular as duas diferenças com calma (explicando a conta com frações):
  • Para as partes com x: 2 = \dfrac{10}{5}, então
\frac{2}{5} - 2 = \frac{2}{5} - \frac{10}{5} = -\frac{8}{5}.
Assim o lado esquerdo é -\dfrac{8}{5}x.
  • Para o lado direito: \dfrac{6}{5}-1=\dfrac{6}{5}-\dfrac{5}{5}=\dfrac{1}{5}.
Portanto a inequação fica
-\frac{8}{5}x \leq \frac{1}{5}.

Passo 5

Agora precisamos isolar x. Temos um coeficiente negativo multiplicando x. Ao dividir ambos os lados da inequação por esse coeficiente, devemos lembrar de uma regra essencial: ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte. Aqui vamos dividir por -\dfrac{8}{5}, que é negativo. Fazendo a divisão:
x \geq \frac{\tfrac{1}{5}}{-\tfrac{8}{5}}.
Para simplificar a fração, multiplicamos \dfrac{1}{5} pelo inverso de -\dfrac{8}{5}:
\frac{\tfrac{1}{5}}{-\tfrac{8}{5}} = \frac{1}{5}\cdot\left(-\frac{5}{8}\right) = -\frac{1}{8}.
Observe que o sinal da desigualdade ficou \geq por causa da divisão por número negativo.

Passo 6

Fazer uma verificação rápida para ganhar confiança: se x=-\dfrac{1}{8}, então
  • Lado esquerdo: \dfrac{2}{5}\!\left(-\dfrac{1}{8}\right)+1 = -\dfrac{2}{40}+1 = -\dfrac{1}{20}+1 = \dfrac{19}{20}.
  • Lado direito: 2\!\left(-\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{5}\right)=2\!\left(-\dfrac{1}{8}+\dfrac{24}{40}\right)=2\!\left(\dfrac{19}{40}\right)=\dfrac{38}{40}=\dfrac{19}{20}.
    Como os dois lados dão o mesmo valor, a igualdade ocorre em x=-\dfrac{1}{8}, então esse ponto pertence à solução, e valores maiores também satisfazem a desigualdade (conforme o sinal \geq).

Resposta

x \geq -\dfrac{1}{8}

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