Resolva as inequações.
\frac{2}{3}-\frac{1}{2} x \geq \frac{1}{6}+x

Passo 1

Enunciado que recebemos: resolver a inequação
\frac{2}{3}-\frac{1}{2}x \geq \frac{1}{6}+x.
O que o problema pede: encontrar todos os valores de x (o conjunto solução) que satisfazem essa desigualdade. Informações dadas: os coeficientes e termos constantes são frações ( \tfrac{2}{3},\\ \tfrac{1}{2},\\ \tfrac{1}{6}) e há um termo em x em ambos os lados da inequação.

Passo 2

Objetivo imediato: agrupar os termos com x de um lado e as constantes do outro. Para isso subtraio x de ambos os lados (operações válidas em inequações, mantendo a desigualdade porque subtrair o mesmo número dos dois lados não altera a direção):
\frac{2}{3}-\frac{1}{2}x - x \geq \frac{1}{6}.

Passo 3

Agora vamos somar os coeficientes de x à esquerda. Lembre que x equivale a \tfrac{1}{1}x, então
-\frac{1}{2}x - x = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{1}x.
Para somar frações de coeficientes, colocamos denominador comum: \frac{1}{1} = \frac{2}{2}. Assim
-\frac{1}{2}x - \frac{2}{2}x = -\frac{3}{2}x.
Substituindo na inequação:
\frac{2}{3} - \frac{3}{2}x \geq \frac{1}{6}.

Passo 4

Agora isolamos o termo em x subtraindo \tfrac{2}{3} de ambos os lados:
- \frac{3}{2}x \geq \frac{1}{6} - \frac{2}{3}.
Vamos calcular o lado direito com denominadores iguais. Converter \tfrac{2}{3} para sexto avos: \tfrac{2}{3}=\tfrac{4}{6}. Então
\frac{1}{6}-\frac{4}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}.
Ficamos com
- \frac{3}{2}x \geq -\frac{1}{2}.

Passo 5

Para isolar x dividimos ambos os lados por -\tfrac{3}{2}. Atenção importante e didática: ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo, a direção da desigualdade inverte-se. Por que isso acontece (intuição rápida)? Porque multiplicar por um número negativo inverte a reta numérica (números positivos viram negativos e vice‑versa), então se a>b e multiplicarmos por um negativo, passa a ser a'<b' com sentido trocado. Portanto, ao dividir por -\tfrac{3}{2} a desigualdade \ge vira \le.
Efetuando a divisão:
x \leq \frac{-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{3}{2}}.
Calcule a fração:
\frac{-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{3}{2}} = \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{3}.
Portanto obtemos
x \leq \frac{1}{3}.

Passo 6

Vamos checar rapidamente alguns casos para ter certeza:
  • Teste com x=\tfrac{1}{3} (fronteira): à esquerda
\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
à direita
\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
Como são iguais, a desigualdade com \ge é satisfeita por x=\tfrac{1}{3}.
  • Teste com x=0: à esquerda \tfrac{2}{3}, à direita \tfrac{1}{6}, e \tfrac{2}{3}\ge\tfrac{1}{6} é verdadeiro, logo x=0 (que é \le\tfrac{1}{3}) funciona.
  • Teste com x=1: à esquerda \tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{6}, à direita \tfrac{1}{6}+1=\tfrac{7}{6}, e \tfrac{1}{6}\ge\tfrac{7}{6} é falso, logo x=1 (maior que \tfrac{1}{3}) não funciona. Esses testes confirmam a solução encontrada.

Resposta

x \leq \frac{1}{3}

Exercícios relacionados