Resolva as inequações.
Passo 1
Enunciado que recebemos: resolver a inequação
O que o problema pede: encontrar todos os valores de
(o conjunto solução) que satisfazem essa desigualdade. Informações dadas: os coeficientes e termos constantes são frações (
) e há um termo em
em ambos os lados da inequação.
Passo 2
Objetivo imediato: agrupar os termos com
de um lado e as constantes do outro. Para isso subtraio
de ambos os lados (operações válidas em inequações, mantendo a desigualdade porque subtrair o mesmo número dos dois lados não altera a direção):
Passo 3
Agora vamos somar os coeficientes de
à esquerda. Lembre que
equivale a
, então
Para somar frações de coeficientes, colocamos denominador comum:
. Assim
Substituindo na inequação:
Passo 4
Agora isolamos o termo em
subtraindo
de ambos os lados:
Vamos calcular o lado direito com denominadores iguais. Converter
para sexto avos:
. Então
Ficamos com
Passo 5
Para isolar
dividimos ambos os lados por
. Atenção importante e didática: ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo, a direção da desigualdade inverte-se. Por que isso acontece (intuição rápida)? Porque multiplicar por um número negativo inverte a reta numérica (números positivos viram negativos e vice‑versa), então se
e multiplicarmos por um negativo, passa a ser
com sentido trocado. Portanto, ao dividir por
a desigualdade
vira
.
Efetuando a divisão:
Calcule a fração:
Portanto obtemos
Passo 6
Vamos checar rapidamente alguns casos para ter certeza:
- Teste com
(fronteira): à esquerda
à direita
Como são iguais, a desigualdade com
é satisfeita por
.
- Teste com
: à esquerda , à direita , e é verdadeiro, logo (que é ) funciona. - Teste com
: à esquerda , à direita , e é falso, logo (maior que ) não funciona. Esses testes confirmam a solução encontrada.