Resolva as inequações.
8(x+3)>12(1-x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
8(x+3)>12(1-x).
Informações dadas:
  • A desigualdade envolve uma expressão linear em x nos dois lados.
  • Precisa-se encontrar todos os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: desenvolver (fazer a distributiva) ambos os lados para eliminar parênteses. A distributiva diz que a(b+c)=ab+ac; aqui aplicamos com a=8 no lado esquerdo e a=12 no lado direito.
8(x+3)=8x+8\cdot3=8x+24, \qquad 12(1-x)=12\cdot1-12x=12-12x.
Assim a inequação fica
8x+24>12-12x.

Passo 3

Agora vamos reunir os termos com x de um lado e os termos numéricos do outro. Para isso some 12x em ambos os lados (somar a mesma quantidade em ambos os lados não altera a desigualdade):
8x+12x+24>12-12x+12x \quad\Rightarrow\quad 20x+24>12.

Passo 4

Em seguida isolamos o termo com x subtraindo 24 em ambos os lados (novamente, subtrair a mesma quantidade em ambos os lados preserva a desigualdade):
20x+24-24>12-24 \quad\Rightarrow\quad 20x>-12.

Passo 5

Agora dividimos ambos os lados por 20 para obter x. Atenção importante sobre desigualdades: se dividir (ou multiplicar) ambos os lados por um número positivo, o sinal da desigualdade permanece; se dividir por um número negativo, o sinal inverte. Aqui estamos dividindo por 20, que é positivo, então o sinal não muda.
x>\dfrac{-12}{20}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 4:
x>-\dfrac{3}{5}.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): escolha um valor maior que -\dfrac{3}{5}, por exemplo x=0. Substituindo na inequação original:
8(0+3)=24,\qquad 12(1-0)=12,\qquad 24>12\\ \text{(verdadeiro)}.
Escolhendo x=-1 (que é menor que -\dfrac{3}{5}):
8(-1+3)=16,\qquad 12(1-(-1))=24,\qquad 16>24\\ \text{(falso)}.
As verificações confirmam que a solução faz sentido.

Resposta

x>-\dfrac{3}{5}
x\in\left(-\dfrac{3}{5},\infty\right)

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