Resolva as inequações:
\left(\frac{1}{3}\right)^{3 x-1}<\left(\frac{1}{3}\right)^{x+5}

Passo 1

Enunciado: Resolver a inequação \left(\frac{1}{3}\right)^{3x-1}<\left(\frac{1}{3}\right)^{x+5}.\n
O que o problema pede: determinar todos os valores de x que fazem a desigualdade verdadeira.\n
Informações dadas (úteis para resolver): a base em ambas as potências é a mesma, \frac{1}{3}. Não há outras restrições explícitas sobre x.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): quando temos potências com a mesma base positiva, podemos comparar os expoentes — mas atenção ao sinal da base!
  • Se a base b satisfaz b>1, a função b^{t} é crescente em t: maior expoente → maior valor da potência.
  • Se a base b satisfaz 0<b<1, a função b^{t} é decrescente em t: maior expoente → menor valor da potência.\n
    Por que isso acontece? Pense em b=1/2. Se eu aumentar o expoente de 1 para 2, passo de \left(\tfrac{1}{2}\right)^1=\tfrac{1}{2} para \left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4}, que é menor. Isso mostra a natureza decrescente quando 0<b<1.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: aqui a base é \frac{1}{3}, e temos 0<\frac{1}{3}<1. Portanto a função t\mapsto\left(\frac{1}{3}\right)^{t} é decrescente. Isso significa que, para expoentes u e v,
\left(\frac{1}{3}\right)^{u} < \left(\frac{1}{3}\right)^{v}
ocorre exatamente quando
u > v.
Ou seja, a desigualdade entre potências com base menor que 1 inverte-se ao comparar os expoentes.

Passo 4

Usando a regra do passo anterior, comparo os expoentes da inequação dada:
3x-1 > x+5.
Agora vamos resolver essa inequação linear passo a passo.

Passo 5

Resolvendo \;3x-1 > x+5\;:
3x-1 > x+5
Primeiro subtraio x em ambos os lados:
3x - x -1 > 5
Isso dá
2x -1 > 5.
Agora somo 1 em ambos os lados:
2x > 6.
Finalmente divido por 2 (como 2>0, a desigualdade mantém o sinal):
x > 3.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): pegue x=4 (que satisfaz x>3):
\left(\tfrac{1}{3}\right)^{3\cdot4-1}=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{11},\qquad \left(\tfrac{1}{3}\right)^{4+5}=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{9}.
Como expoente 11>9 e a base é menor que 1, \left(\tfrac{1}{3}\right)^{11}<\left(\tfrac{1}{3}\right)^{9}, logo a desigualdade original fica verdadeira — consistente com x=4. Se você testar um x\le 3, a desigualdade falha.

Resposta

x>3

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