Resolva as inequações:
Passo 1
Enunciado: Resolver a inequação
.\n
O que o problema pede: determinar todos os valores de que fazem a desigualdade verdadeira.\n
Informações dadas (úteis para resolver): a base em ambas as potências é a mesma, . Não há outras restrições explícitas sobre
.
O que o problema pede: determinar todos os valores de
Informações dadas (úteis para resolver): a base em ambas as potências é a mesma,
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): quando temos potências com a mesma base positiva, podemos comparar os expoentes — mas atenção ao sinal da base!
- Se a base
satisfaz , a função é crescente em : maior expoente → maior valor da potência. - Se a base
satisfaz , a função é decrescente em : maior expoente → menor valor da potência.\n
Por que isso acontece? Pense em. Se eu aumentar o expoente de para , passo de para , que é menor. Isso mostra a natureza decrescente quando .
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: aqui a base é
, e temos
. Portanto a função
é decrescente. Isso significa que, para expoentes
e
,
ocorre exatamente quando
Ou seja, a desigualdade entre potências com base menor que 1 inverte-se ao comparar os expoentes.
Passo 4
Usando a regra do passo anterior, comparo os expoentes da inequação dada:
Agora vamos resolver essa inequação linear passo a passo.
Passo 5
Resolvendo
:
Primeiro subtraio
em ambos os lados:
Isso dá
Agora somo
em ambos os lados:
Finalmente divido por
(como
, a desigualdade mantém o sinal):
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): pegue
(que satisfaz
):
Como expoente
e a base é menor que 1,
, logo a desigualdade original fica verdadeira — consistente com
. Se você testar um
, a desigualdade falha.