Cada golpe de uma bomba extrai
de óleo de um tanque. A capacidade do tanque é de
e, inicialmente, está cheio.
a) Após o
golpe, qual o valor mais próximo para o volume de óleo que permanece no tanque?
b) Qual é a lei da função que representa o volume de óleo que permanece no tanque após n golpes?
a) Após o
b) Qual é a lei da função que representa o volume de óleo que permanece no tanque após n golpes?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
-
Informações dadas:
- A capacidade do tanque é de
. - Inicialmente o tanque está cheio, ou seja, o volume inicial de óleo é
. - A cada golpe da bomba é extraído
do óleo que está no tanque naquele momento.
- A capacidade do tanque é de
-
Perguntas:
- (a) Após o
golpe, qual o valor mais próximo do volume de óleo que permanece no tanque? - (b) Qual é a lei (fórmula) que dá o volume de óleo que permanece no tanque após
golpes?
- (a) Após o
Passo 2
Interpretação do que significa “cada golpe extrai
do óleo que está no tanque”: se antes do golpe havia um volume
, então retiram
de
e fica no tanque
de
. Em forma decimal, isso significa que após um golpe permanece uma fração
do volume anterior. Esse número
é chamado de fator multiplicativo por golpe.
Explicação didática rápida: porcentagem é uma fração de 100. Assim
. Retirando
sobra
.
Passo 3
Vamos calcular passo a passo os primeiros volumes para ver o padrão (começando em
como o estado inicial, antes de qualquer golpe):
-
Volume inicial:
-
Depois do 1.º golpe: multiplica por
: -
Depois do 2.º golpe:
-
Depois do 3.º golpe:
-
Depois do 4.º golpe:
-
Depois do 5.º golpe:
Passo 4
Cálculo explícito de
feito por multiplicações sucessivas (para você poder replicar sem calculadora na prova):
-
. -
. -
. -
.
Portanto
. Se pedirem arredondamento ao centésimo, isso é aproximadamente
.
Passo 5
Derivação da lei geral (explicando a ideia passo a passo): cada golpe multiplica o volume pela mesma constante
. Isso caracteriza uma sequência geométrica (progressão geométrica), cuja forma geral é:
- Se
é o volume inicial e é a razão comum (aqui ), então o volume após golpes é
Explicando as variáveis:
-
= volume após golpes, -
= volume inicial (aqui ), -
= razão multiplicativa por golpe (aqui ), -
= número de golpes (inteiro não negativo).
Aplicando ao nosso caso com
e
, obtemos
Passo 6
Comentário final e motivação: resumindo, para resolver qualquer pergunta parecida na prova — “retira
a cada passo” — transforme
em decimal, calcule
para achar o fator que permanece a cada passo, e eleva esse fator à potência
. Você consegue isso com multiplicações sucessivas ou, se souber potências, diretamente.
Você tá indo bem — esse tipo de problema é só reconhecer a sequência geométrica e aplicar a fórmula. Respira fundo e pratica alguns exemplos parecidos (por exemplo, “cada dia perde 20%” ou “cada ano cresce 5%”) para fixar.