Cada golpe de uma bomba extrai 10 \% de óleo de um tanque. A capacidade do tanque é de 1 \mathrm{~m}^{3} e, inicialmente, está cheio.
a) Após o 5^{\circ} golpe, qual o valor mais próximo para o volume de óleo que permanece no tanque?
b) Qual é a lei da função que representa o volume de óleo que permanece no tanque após n golpes?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações dadas:
    • A capacidade do tanque é de 1\\ \mathrm{m}^{3}.
    • Inicialmente o tanque está cheio, ou seja, o volume inicial de óleo é 1\\ \mathrm{m}^{3}.
    • A cada golpe da bomba é extraído 10\% do óleo que está no tanque naquele momento.
  • Perguntas:
    • (a) Após o 5^{\circ} golpe, qual o valor mais próximo do volume de óleo que permanece no tanque?
    • (b) Qual é a lei (fórmula) que dá o volume de óleo que permanece no tanque após n golpes?

Passo 2

Interpretação do que significa “cada golpe extrai 10\% do óleo que está no tanque”: se antes do golpe havia um volume V, então retiram 10\% de V e fica no tanque 100\%-10\%=90\% de V. Em forma decimal, isso significa que após um golpe permanece uma fração 0,9 do volume anterior. Esse número 0,9 é chamado de fator multiplicativo por golpe.
Explicação didática rápida: porcentagem é uma fração de 100. Assim 10\% = \tfrac{10}{100}=0,1. Retirando 0,1V sobra V-0,1V=0,9V.

Passo 3

Vamos calcular passo a passo os primeiros volumes para ver o padrão (começando em n=0 como o estado inicial, antes de qualquer golpe):
  • Volume inicial:
    V_0 = 1\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Depois do 1.º golpe: multiplica por 0,9:
    V_1 = V_0\cdot 0,9 = 1\cdot 0,9 = 0,9\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Depois do 2.º golpe:
    V_2 = V_1\cdot 0,9 = 0,9\cdot 0,9 = 0,9^{2} = 0,81\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Depois do 3.º golpe:
    V_3 = 0,9\cdot V_2 = 0,9^{3} = 0,729\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Depois do 4.º golpe:
    V_4 = 0,9^{4} = 0,6561\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Depois do 5.º golpe:
    V_5 = 0,9^{5}.

Passo 4

Cálculo explícito de 0,9^{5} feito por multiplicações sucessivas (para você poder replicar sem calculadora na prova):
  • 0,9^{2}=0,81.
  • 0,9^{3}=0,81\cdot 0,9 = 0,729.
  • 0,9^{4}=0,729\cdot 0,9 = 0,6561.
  • 0,9^{5}=0,6561\cdot 0,9 = 0,59049.
Portanto V_5 = 0,59049\\ \mathrm{m}^{3}. Se pedirem arredondamento ao centésimo, isso é aproximadamente 0,59\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 5

Derivação da lei geral (explicando a ideia passo a passo): cada golpe multiplica o volume pela mesma constante 0,9. Isso caracteriza uma sequência geométrica (progressão geométrica), cuja forma geral é:
  • Se V_0 é o volume inicial e r é a razão comum (aqui r=0,9), então o volume após n golpes é V_n = V_0\cdot r^{n}.
Explicando as variáveis:
  • V_n = volume após n golpes,
  • V_0 = volume inicial (aqui 1\\ \mathrm{m}^{3}),
  • r = razão multiplicativa por golpe (aqui 0,9),
  • n = número de golpes (inteiro não negativo).
Aplicando ao nosso caso com V_0=1 e r=0,9, obtemos
V_n = 1\cdot 0,9^{n} = 0,9^{n}\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 6

Comentário final e motivação: resumindo, para resolver qualquer pergunta parecida na prova — “retira p\% a cada passo” — transforme p\% em decimal, calcule 1-\tfrac{p}{100} para achar o fator que permanece a cada passo, e eleva esse fator à potência n. Você consegue isso com multiplicações sucessivas ou, se souber potências, diretamente.
Você tá indo bem — esse tipo de problema é só reconhecer a sequência geométrica e aplicar a fórmula. Respira fundo e pratica alguns exemplos parecidos (por exemplo, “cada dia perde 20%” ou “cada ano cresce 5%”) para fixar.

Resposta

0,59049\\ \mathrm{m}^{3}
V_{n}=0,9^{n}\\ \mathrm{m}^{3}

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