Resolva as inequações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas e o que é pedido:
- Temos uma expressão envolvendo potências de base
. - A incógnita é
(vou usar em toda a resolução). - Preciso encontrar todos os valores de
que tornam a desigualdade verdadeira.
Passo 2
Vamos usar propriedades de potências para simplificar os termos com expoentes somados:
Aqui usei a regra
e que
. Isso transforma a inequação original em uma expressão em função de
.
Passo 3
Faça a substituição auxiliar
Observação importante: como
para todo
, temos
. Essa substituição é útil porque transforma potências em uma variável polinomial, que é mais fácil de tratar.
Passo 4
Substituindo na inequação e simplificando os coeficientes:
vira
Como
, isso dá
Passando
para o lado esquerdo obtemos a inequação quadrática
Passo 5
Fatoramos o polinômio para resolver a inequação. Procurando fatores, encontramos
Portanto a inequação torna-se
As raízes são
e
. Como o produto é negativo entre as raízes e o coeficiente de
é positivo, a solução contínua para
é
Passo 6
Lembrando que
e que
, a interseção com o intervalo anterior é
Ou seja,
Passo 7
Agora traduzimos isso para
. A função
é estritamente crescente (pois a base
). Então a desigualdade
é equivalente a comparar os expoentes com respeito a
:
Também vale verificar o caso
: substituindo em
obtemos
, que não satisfaz a desigualdade estrita, então
está excluído.
Passo 8
Pequena verificação numérica para dar confiança: escolha
. Então
e
ou seja, a desigualdade é satisfeita para
, consistente com
.