Resolva as inequações:
2^{2 X+2}-0,75 \cdot 2^{x+2}<1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
2^{2X+2}-0,75\cdot 2^{x+2}<1.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Temos uma expressão envolvendo potências de base 2.
  • A incógnita é x (vou usar x em toda a resolução).
  • Preciso encontrar todos os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Vamos usar propriedades de potências para simplificar os termos com expoentes somados:
2^{2x+2}=2^{2x}\cdot 2^{2}=4\cdot 2^{2x}=4\cdot(2^{x})^{2},
2^{x+2}=2^{x}\cdot 2^{2}=4\cdot 2^{x}.
Aqui usei a regra \;a^{m+n}=a^{m}a^{n}\; e que 2^{2}=4. Isso transforma a inequação original em uma expressão em função de 2^{x}.

Passo 3

Faça a substituição auxiliar
t=2^{x}.
Observação importante: como 2^{x}>0 para todo x, temos t>0. Essa substituição é útil porque transforma potências em uma variável polinomial, que é mais fácil de tratar.

Passo 4

Substituindo na inequação e simplificando os coeficientes:
2^{2x+2}-0,75\cdot 2^{x+2}<1
vira
4t^{2}-0{,}75\cdot 4t<1.
Como 0{,}75\cdot 4=3, isso dá
4t^{2}-3t<1.
Passando 1 para o lado esquerdo obtemos a inequação quadrática
4t^{2}-3t-1<0.

Passo 5

Fatoramos o polinômio para resolver a inequação. Procurando fatores, encontramos
4t^{2}-3t-1=(4t+1)(t-1).
Portanto a inequação torna-se
(4t+1)(t-1)<0.
As raízes são t=-\tfrac{1}{4} e t=1. Como o produto é negativo entre as raízes e o coeficiente de t^{2} é positivo, a solução contínua para t é
-\tfrac{1}{4}<t<1.

Passo 6

Lembrando que t=2^{x} e que t>0, a interseção com o intervalo anterior é
0<t<1.
Ou seja,
0<2^{x}<1.

Passo 7

Agora traduzimos isso para x. A função x\mapsto 2^{x} é estritamente crescente (pois a base 2>1). Então a desigualdade 2^{x}<1 é equivalente a comparar os expoentes com respeito a 1=2^{0}:
2^{x}<2^{0}\quad\Longrightarrow\quad x<0.
Também vale verificar o caso x=0: substituindo em 2^{2x+2}-0{,}75\cdot 2^{x+2} obtemos 4-3=1, que não satisfaz a desigualdade estrita, então x=0 está excluído.

Passo 8

Pequena verificação numérica para dar confiança: escolha x=-1. Então 2^{x}=1/2 e
4\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-3\left(\tfrac{1}{2}\right)-1=1-\tfrac{3}{2}-1=-\tfrac{3}{2}<0,
ou seja, a desigualdade é satisfeita para x=-1, consistente com x<0.

Resposta

\;x<0

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