Resolva as inequações, em \mathbb{R} :
|3 x-1|<|x+5|

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
|3x - 1| < |x + 5|.
O conteúdo é inequações com valor absoluto. Vamos usar a propriedade de que, para quaisquer reais a e b,
|a| < |b| \quad\Longleftrightarrow\quad a^2 < b^2.

Passo 2

Elevando ao quadrado os dois lados (ambos são não negativos) obtemos
(3x - 1)^2 < (x + 5)^2.

Passo 3

Trazer tudo para um lado e usar a diferença de quadrados A^2 - B^2 = (A - B)(A + B):
(3x - 1)^2 - (x + 5)^2 < 0.

Passo 4

Fatorando, temos
[(3x - 1) - (x + 5)]\;\cdot\;[(3x - 1) + (x + 5)] < 0
[2x - 6]\;\cdot\;[4x + 4] < 0
2(x - 3)\;\cdot\;4(x + 1) < 0
(x - 3)(x + 1) < 0.

Passo 5

O produto (x-3)(x+1) é negativo exatamente quando x está entre as raízes -1 e 3:
-1 < x < 3.

Resposta

x \in (-1,3)

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