Resolva as inequações, em \mathbb{R} :
|x-1| \leq 2 x+3

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação com valor absoluto
|x-1|\le2x+3.
O conteúdo é inequações envolvendo módulo. Vamos usar a definição
|A|\le B\iff \bigl(B\ge0\text{ e }-B\le A\le B\bigr),
além de tratar separadamente os casos em que x-1 é não negativo ou negativo.

Passo 2

Primeiro, exigimos que o lado direito seja não negativo:
2x+3\ge0
\iff x\ge -\tfrac32.
Para x<-\tfrac32 não há solução, pois teríamos |x-1|\ge0>2x+3.

Passo 3

Caso 1: x-1\ge0, isto é, x\ge1. Nesse caso |x-1|=x-1 e a inequação vira
x-1\le2x+3.
Subtraindo x em ambos os lados,
-1\le x+3 \quad\Longrightarrow\quad x\ge -4.
Combinando com x\ge1 (e x\ge -\tfrac32), obtemos solução parcial x\ge1.

Passo 4

Caso 2: x-1<0, ou seja -\tfrac32\le x<1. Aqui |x-1|=1-x e resolvemos
1-x\le2x+3.
Passando x e isolando,
1-3\le2x+x \quad\Longrightarrow\quad -2\le3x \quad\Longrightarrow\quad x\ge -\tfrac23.
Juntando com -\tfrac32\le x<1, a solução desse caso é
-\tfrac23\le x<1.

Passo 5

Unindo os dois casos e lembrando que não há soluções para x<-\tfrac32, a solução geral é
-\tfrac23\le x<1 \quad\cup\quad x\ge1 \;\Longrightarrow\; x\ge -\tfrac23.

Resposta

\boxed{[-\tfrac{2}{3},\,\infty)}.

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