Resolva as inequações modulares abaixo:
|x+22 x-3|<4;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação modular
|x+22x-3|<4
Aqui o conteúdo é inequação com valor absoluto e fração, e vamos precisar determinar o domínio (onde o denominador não zera) e depois transformar l|Ar|<4 em -4<A<4.

Passo 2

Primeiro, achamos o domínio da expressão. Como o denominador não pode ser zero, exigimos
2x-3 neq 0
implies x neq 32

Passo 3

Transformamos a inequação modular em dupla desigualdade:
|x+22x-3|<4 Long<=ftrightarrow -4 < x+22x-3 < 4

Passo 4

Analisamos os casos conforme o sinal de 2x-3.
Caso A: 2x-3>0 (ou seja x>tfrac32).
Como o denominador é positivo, podemos multiplicar tudo por 2x-3 sem inverter desigualdades:
-4(2x-3) < x+2 < 4(2x-3)
Vamos resolver cada lado:
bul<=t À esquerda:
-8x +12 < x+2 Longrightarrow -8x - x < 2 -12 Longrightarrow -9x < -10 Longrightarrow x > 109
bul<=t À direita:
x+2 < 8x -12 Longrightarrow 2 +12 < 8x - x Longrightarrow 14 < 7x Longrightarrow x > 2
Na interseção com x>tfrac32, o mais forte é x>2.

Passo 5

Caso B: 2x-3<0 (ou seja x<tfrac32).
Agora o denominador é negativo, então ao multiplicar por 2x-3 invertemos os sinais em ambas as desigualdades:
-4 > (x+2),2x-3 > 4 Long<=ftrightarrow x+2 > 4(2x-3) e x+2 < -4(2x-3)
Resolvendo:
bul<=t Da condição x+22x-3<4 vira
x+2 > 8x -12 Longrightarrow 2 +12 > 8x - x Longrightarrow 14 > 7x Longrightarrow x < 147 = 2
bul<=t Da condição x+22x-3>-4 vira
x+2 < -8x +12 Longrightarrow x +8x < 12 -2 Longrightarrow 9x < 10 Longrightarrow x < 109
Na interseção com x<tfrac32, o mais forte é x<tfrac109.

Passo 6

Unindo as soluções dos dois casos, excluindo x=tfrac32 (que já ficou de fora), obtemos
x<109 ou x>2

Resposta

boxed(-infty,;tfrac109);cup;(2,;infty)

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