O enunciado pede para resolver a inequação modular
|x+22x-3|<4
Aqui o conteúdo é inequação com valor absoluto e fração, e vamos precisar determinar o domínio (onde o denominador não zera) e depois transformar l|Ar|<4 em -4<A<4.
Passo 2
Primeiro, achamos o domínio da expressão. Como o denominador não pode ser zero, exigimos
2x-3 neq 0
implies x neq 32
Passo 3
Transformamos a inequação modular em dupla desigualdade:
|x+22x-3|<4 Long<=ftrightarrow -4 < x+22x-3 < 4
Passo 4
Analisamos os casos conforme o sinal de 2x-3.
Caso A: 2x-3>0 (ou seja x>tfrac32).
Como o denominador é positivo, podemos multiplicar tudo por 2x-3 sem inverter desigualdades:
-4(2x-3) < x+2 < 4(2x-3)
Vamos resolver cada lado:
bul<=t À esquerda:
-8x +12 < x+2 Longrightarrow -8x - x < 2 -12 Longrightarrow -9x < -10 Longrightarrow x > 109
bul<=t À direita:
x+2 < 8x -12 Longrightarrow 2 +12 < 8x - x Longrightarrow 14 < 7x Longrightarrow x > 2
Na interseção com x>tfrac32, o mais forte é x>2.
Passo 5
Caso B: 2x-3<0 (ou seja x<tfrac32).
Agora o denominador é negativo, então ao multiplicar por 2x-3 invertemos os sinais em ambas as desigualdades: