Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Caso convirjam, determine a sua soma. (Dica: use frações parciais e simplifique as somas parciais para revelar cancelamentos.)
sumn=1^infty 1raizn^2+n(raizn+1+raizn)

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente verificar se a série
sumn=1^infty 1raizn^2+n,l(raizn+1+raiznr)
é convergente e, se for, calcular a soma. Isso envolve conteúdo de séries numéricas, em especial a ideia de séries telescópicas. Para resolver, vamos precisar:
  1. racionalizar o termo geral para decompor em diferença de duas parcelas;
  2. somar essas diferenças e observar cancelamentos.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o termo geral:
an=1raizn^2+n,(raizn+1+raizn) =1raizn(n+1),(raizn+1+raizn)
Agora multiplico numerador e denominador por (raizn+1-raizn) (essa técnica é chamada de racionalização):
an =raizn+1-raizn raizn(n+1)l[(raizn+1+raizn)(raizn+1-raizn)r] =raizn+1-raiznraizn(n+1),(n+1-n) =raizn+1-raiznraizn(n+1)
Por fim, dividindo em duas frações:
an =raizn+1raizn,raizn+1 -raiznraizn,raizn+1 =1raizn-1raizn+1

Passo 3

Agora a soma parcial até N fica
SN=sumn=1^N an =sumn=1^Nl(1raizn-1raizn+1r)
Isso é uma série telescópica: ao escrever os termos, quase tudo se cancela:
SN =l(1-tfrac1raiz2r) +l(tfrac1raiz2-tfrac1raiz3r) +cdots +l(tfrac1raiz N-tfrac1raizN+1r) =1-1raizN+1

Passo 4

Pra saber se converge, fazemos Ntoinfty:
limNtoinftySN =limNtoinftyl(1-1raizN+1r) =1-0=1
Como o limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

A série converge e sua soma é 1.

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