Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Caso convirjam, determine a sua soma. (Dica: use frações parciais e simplifique as somas parciais para revelar cancelamentos.)
Passo 1
Então, o exercício pede pra gente verificar se a série
é convergente e, se for, calcular a soma. Isso envolve conteúdo de séries numéricas, em especial a ideia de séries telescópicas. Para resolver, vamos precisar:
- racionalizar o termo geral para decompor em diferença de duas parcelas;
- somar essas diferenças e observar cancelamentos.
Passo 2
Primeiro, simplificamos o termo geral:
Agora multiplico numerador e denominador por
(essa técnica é chamada de racionalização):
Por fim, dividindo em duas frações:
Passo 3
Agora a soma parcial até
fica
Isso é uma série telescópica: ao escrever os termos, quase tudo se cancela:
Passo 4
Pra saber se converge, fazemos
:
Como o limite existe e é finito, a série converge.
Resposta
A série converge e sua soma é
.