Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.
3 y^{\prime}+y=0 ; y=e^{-\frac{x}{3}}\'

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função y = e^{-\frac{x}{3}} satisfaz a equação diferencial
3\,y^{\prime} + y = 0.
Para isso, vamos calcular a derivada de y e depois substituir y e y^{\prime} na equação, conferindo se obtemos 0=0.

Passo 2

Calculamos a derivada de y usando a regra da cadeia. Como
y(x) = e^{-\frac{x}{3}},
temos
y^{\prime}(x) = -\frac{1}{3}\,e^{-\frac{x}{3}}.

Passo 3

Substituímos y e y^{\prime} na expressão 3\,y^{\prime}+y:
3\Bigl(-\tfrac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}}\Bigr) + e^{-\frac{x}{3}} = -e^{-\frac{x}{3}} + e^{-\frac{x}{3}} = 0.
Como obtemos identicamente zero para todo x, a função satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Sim, y = e^{-\frac{x}{3}} é solução de 3\,y^{\prime} + y = 0.

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