Resolva as inequações:
Passo 1
O enunciado dá a inequação
e pede encontrar todos os números reais
que satisfazem essa desigualdade. Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é
. - A expressão envolve valor absoluto
.
A tarefa é determinar o conjunto solução da inequação.
Passo 2
Observação inicial importante sobre sinais: o valor absoluto satisfaz
para todo
. Portanto, se
então o lado direito
e o lado esquerdo
. Assim, para
não é possível ter
(pois isso exigiria um número não negativo ser menor ou igual a um número não positivo). Para excluir qualquer dúvida, verifique
:
Logo, não há solução com
. Conclui-se que qualquer solução deve satisfazer
Passo 3
Para resolver inequações com valor absoluto usa-se a definição por partes:
Portanto vamos estudar dois casos separados: (A)
e (B)
. Em cada caso substituímos
pela expressão correspondente e resolvemos a inequação, lembrando sempre da restrição já obtida
.]
Passo 4
Caso A:
. Isso equivale a
Nesse caso
e a inequação torna-se
Resolvendo essa desigualdade linear: subtrai-se
de ambos os lados (operações que preservam a desigualdade):
Combina-se com a condição do caso
e com
. Assim, as soluções neste caso são
Cheque rápido das extremidades: em
tem-se
(verdadeiro); em
tem-se
(excluído). Tudo consistente.
Passo 5
Caso B:
. Isso equivale a
Aqui
e a inequação passa a ser
Resolvendo: somar
aos dois lados e dividir por
(divisão por número positivo preserva o sentido):
Combina-se com
e com a restrição geral
. Logo, as soluções neste caso são
Verificação de extremos: em
dá igualdade
, logo não vale (estritamente menor), então
é excluído;
pertence ao caso A já tratado.
Passo 6
Unindo as soluções dos dois casos (união de intervalos):
Faça um teste numérico para ganhar confiança: escolha
.
verdadeiro. Escolha
:
falso. Isso confirma o conjunto solução encontrado.