Resolva as inequações:
|2 x-1|<x

Passo 1

O enunciado dá a inequação |2x-1|<x e pede encontrar todos os números reais x que satisfazem essa desigualdade. Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é x\in\mathbb{R}.
  • A expressão envolve valor absoluto |2x-1|.
    A tarefa é determinar o conjunto solução da inequação.

Passo 2

Observação inicial importante sobre sinais: o valor absoluto satisfaz |2x-1|\ge 0 para todo x. Portanto, se x\le 0 então o lado direito x\le 0 e o lado esquerdo |2x-1|\ge 0. Assim, para x\le 0 não é possível ter |2x-1|<x (pois isso exigiria um número não negativo ser menor ou igual a um número não positivo). Para excluir qualquer dúvida, verifique x=0:
|2\cdot0-1|=1\not<0.
Logo, não há solução com x\le 0. Conclui-se que qualquer solução deve satisfazer
x>0.

Passo 3

Para resolver inequações com valor absoluto usa-se a definição por partes:
|2x-1|= \begin{cases} 2x-1, & \text{se }2x-1\ge 0,\\[4pt] -(2x-1)=1-2x, & \text{se }2x-1<0. \end{cases}
Portanto vamos estudar dois casos separados: (A) 2x-1\ge 0 e (B) 2x-1<0. Em cada caso substituímos |2x-1| pela expressão correspondente e resolvemos a inequação, lembrando sempre da restrição já obtida x>0.]

Passo 4

Caso A: 2x-1\ge 0. Isso equivale a
x\ge \frac{1}{2}.
Nesse caso |2x-1|=2x-1 e a inequação torna-se
2x-1<x.
Resolvendo essa desigualdade linear: subtrai-se x de ambos os lados (operações que preservam a desigualdade):
2x-1-x<0 \quad\Rightarrow\quad x-1<0 \quad\Rightarrow\quad x<1.
Combina-se com a condição do caso x\ge \tfrac{1}{2} e com x>0. Assim, as soluções neste caso são
\frac{1}{2}\le x<1.
Cheque rápido das extremidades: em x=\tfrac{1}{2} tem-se |2x-1|=0<\tfrac{1}{2} (verdadeiro); em x=1 tem-se |2\cdot1-1|=1\not<1 (excluído). Tudo consistente.

Passo 5

Caso B: 2x-1<0. Isso equivale a
x<\frac{1}{2}.
Aqui |2x-1|=1-2x e a inequação passa a ser
1-2x<x.
Resolvendo: somar 2x aos dois lados e dividir por 3 (divisão por número positivo preserva o sentido):
1<3x \quad\Rightarrow\quad x>\frac{1}{3}.
Combina-se com x<\tfrac{1}{2} e com a restrição geral x>0. Logo, as soluções neste caso são
\frac{1}{3}<x<\frac{1}{2}.
Verificação de extremos: em x=\tfrac{1}{3} dá igualdade |2x-1|=\tfrac{1}{3}, logo não vale (estritamente menor), então \tfrac{1}{3} é excluído; x=\tfrac{1}{2} pertence ao caso A já tratado.

Passo 6

Unindo as soluções dos dois casos (união de intervalos):
\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)\cup\left[\frac{1}{2},1\right)=\left(\frac{1}{3},1\right).
Faça um teste numérico para ganhar confiança: escolha x=0{,}4\in\left(\tfrac{1}{3},1\right).
|2\cdot0{,}4-1|=|0{,}8-1|=0{,}2<0{,}4,
verdadeiro. Escolha x=0{,}2\notin\left(\tfrac{1}{3},1\right):
|2\cdot0{,}2-1|=|0{,}4-1|=0{,}6\not<0{,}2,
falso. Isso confirma o conjunto solução encontrado.

Resposta

\left(\dfrac{1}{3},1\right)

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