Resolva as inequações:
Passo 1
O enunciado dá a inequação com valor absoluto
e pede para encontrar todos os valores de
que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão dentro do valor absoluto é
. - O lado direito é o número
. - A desigualdade é estrita: é
, não .
Passo 2
Entendendo o significado de valor absoluto e a regra que vamos usar (aqui vai uma mini-aula bem didática). Para um número real qualquer
e um número positivo
vale a equivalência:
O que isso diz em palavras: a distância de
até zero é menor que
; portanto
fica dentro do intervalo aberto de centro zero e raio
. Essa é a forma padrão e mais prática para resolver desigualdades do tipo
.
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso, com
e
, obtemos a desigualdade equivalente sem valor absoluto:
Expliquei acima por que isso é válido: porque estamos pedindo que a distância entre
e
seja menor que
.
Passo 4
Agora resolvemos a desigualdade composta fazendo operações válidas em todas as três partes ao mesmo tempo. Somamos
à esquerda, ao meio e à direita para isolar
:
Calculando as somas:
Portanto
está entre
e
, sem incluir os extremos (porque a desigualdade é estrita).
Passo 5
Interpretação final e verificação rápida por exemplos:
- Qualquer
com deve satisfazer a desigualdade. Por exemplo, para temos (ok). Para temos (ok). - Valores fora do intervalo não devem satisfazer. Por exemplo, para
temos (não satisfaz). - Nos extremos
e temos e , que não cumprem a desigualdade estrita ; por isso os extremos não entram na solução.
Passo 6
(Não obrigatório, mas útil: método alternativo por casos, para aprender outra técnica.)
O valor absoluto pode ser tratado por definição em dois casos:
O valor absoluto pode ser tratado por definição em dois casos:
- Se
(ou seja ), então e a desigualdade vira ⇒ . Juntando com dá . - Se
(ou seja ), então e a desigualdade vira ⇒ ⇒ . Juntando com dá .
Unindo os dois resultados obtemos, igual ao resultado anterior.