Resolva as inequações:
|x-3|<4

Passo 1

O enunciado dá a inequação com valor absoluto
|x-3|<4
e pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro do valor absoluto é x-3.
  • O lado direito é o número 4.
  • A desigualdade é estrita: é <, não \le.

Passo 2

Entendendo o significado de valor absoluto e a regra que vamos usar (aqui vai uma mini-aula bem didática). Para um número real qualquer A e um número positivo b>0 vale a equivalência:
|A|<b \quad\Longleftrightarrow\quad -b<A<b.
O que isso diz em palavras: a distância de A até zero é menor que b; portanto A fica dentro do intervalo aberto de centro zero e raio b. Essa é a forma padrão e mais prática para resolver desigualdades do tipo |\,\cdot\,|<\text{constante}.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso, com A=x-3 e b=4, obtemos a desigualdade equivalente sem valor absoluto:
-4 < x-3 < 4.
Expliquei acima por que isso é válido: porque estamos pedindo que a distância entre x-3 e 0 seja menor que 4.

Passo 4

Agora resolvemos a desigualdade composta fazendo operações válidas em todas as três partes ao mesmo tempo. Somamos 3 à esquerda, ao meio e à direita para isolar x:
-4+3 < x-3+3 < 4+3.
Calculando as somas:
-1 < x < 7.
Portanto x está entre -1 e 7, sem incluir os extremos (porque a desigualdade é estrita).

Passo 5

Interpretação final e verificação rápida por exemplos:
  • Qualquer x com -1<x<7 deve satisfazer a desigualdade. Por exemplo, para x=0 temos |0-3|=3<4 (ok). Para x=6 temos |6-3|=3<4 (ok).
  • Valores fora do intervalo não devem satisfazer. Por exemplo, para x=8 temos |8-3|=5\not<4 (não satisfaz).
  • Nos extremos x=-1 e x=7 temos |-1-3|=4 e |7-3|=4, que não cumprem a desigualdade estrita <4; por isso os extremos não entram na solução.

Passo 6

(Não obrigatório, mas útil: método alternativo por casos, para aprender outra técnica.)
O valor absoluto pode ser tratado por definição em dois casos:
  • Se x-3\ge 0 (ou seja x\ge 3), então |x-3|=x-3 e a desigualdade vira x-3<4 x<7. Juntando com x\ge3 3\le x<7.
  • Se x-3<0 (ou seja x<3), então |x-3|=-(x-3)=3-x e a desigualdade vira 3-x<4 -x<1 x>-1. Juntando com x<3 -1<x<3.
    Unindo os dois resultados obtemos -1<x<7, igual ao resultado anterior.

Resposta

\;x\in(-1,7)

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