Resolva as inequações em R.
(b) 2<|x-1|<4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação 2 < |x - 1| < 4. O conteúdo aqui envolve valor absoluto e inequações compostas. Para resolver isso, vamos precisar entender como quebrar essa inequação em partes mais simples e lidar com o valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa |x - 1|. O valor absoluto de uma expressão, como |x - 1|, representa a distância do número x - 1 até zero na reta numérica. Então, |x - 1| é sempre positivo ou zero.

Passo 3

A inequação que temos é 2 < |x - 1| < 4. Isso significa que a distância de x - 1 até zero deve ser maior que 2 e menor que 4 ao mesmo tempo. Vamos dividir isso em duas partes:
  1. |x - 1| > 2
  2. |x - 1| < 4
Vamos resolver cada uma dessas inequações separadamente.

Passo 4

Vamos começar com |x - 1| > 2. Essa inequação significa que x - 1 está mais distante de zero do que 2. Isso acontece em dois casos:
  • x - 1 > 2
  • x - 1 < -2
Resolvendo cada caso:
  1. x - 1 > 2 Rightarrow x > 3
  2. x - 1 < -2 Rightarrow x < -1
Então, a solução para |x - 1| > 2 é x > 3 ou x < -1.

Passo 5

Agora, vamos resolver |x - 1| < 4. Essa inequação significa que x - 1 está a uma distância menor que 4 de zero. Podemos reescrever isso como:
-4 < x - 1 < 4
Agora, vamos resolver para x:
Adicionando 1 em todas as partes da desigualdade:
-4 + 1 < x < 4 + 1 Rightarrow -3 < x < 5
Então, a solução para |x - 1| < 4 é -3 < x < 5.

Passo 6

Agora, temos as soluções das duas partes:
  1. x > 3 ou x < -1
  2. -3 < x < 5
Precisamos encontrar os valores de x que satisfazem ambas as condições ao mesmo tempo. Vamos analisar:
  • Para x > 3 dentro de -3 < x < 5, os valores possíveis são 3 < x < 5.
  • Para x < -1 dentro de -3 < x < 5, os valores possíveis são -3 < x < -1.

Resposta

A solução da inequação 2 < |x - 1| < 4 é x no intervalo -3 < x < -1 ou 3 < x < 5. Em notação intervalar:
x in (-3, -1) cup (3, 5)

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