Resolva as inequações seguintes, em mathbb{R}.
\left|x^{2}-5 x\right| \geqslant 6

Passo 1

Enunciado: resolver a inequação em \mathbb{R}
\left|x^{2}-5x\right| \geqslant 6.
O que é pedido: encontrar o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade acima.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão dentro do valor absoluto é x^{2}-5x.
  • O módulo (valor absoluto) dessa expressão deve ser maior ou igual a 6.

Passo 2

Entendendo a propriedade do valor absoluto que vamos usar: para qualquer expressão A e qualquer número real k\ge 0,
|A|\ge k \quad\Longleftrightarrow\quad A\ge k \quad\text{ou}\quad A\le -k.
Intuição rápida: |A| é a distância de A a zero; pedir que essa distância seja pelo menos k é o mesmo que A estar à direita de k ou à esquerda de -k.
Aplicando com A=x^{2}-5x e k=6, obtemos as duas desigualdades equivalentes:
x^{2}-5x\ge 6 \qquad\text{ou}\qquad x^{2}-5x\le -6.

Passo 3

Vamos tratar cada desigualdade separadamente. Primeiro, colocar tudo num lado para formar quadráticas padrão.
  1. Para x^{2}-5x\ge 6 passamos 6 para o lado esquerdo:
x^{2}-5x-6\ge 0.
  1. Para x^{2}-5x\le -6 passamos -6 para o lado esquerdo:
x^{2}-5x+6\le 0.

Passo 4

Resolver a primeira inequação quadrática \;x^{2}-5x-6\ge 0.
Fatoramos o polinômio:
x^{2}-5x-6=(x-6)(x+1).
As raízes são x=-1 e x=6.
Como o coeficiente de x^{2} é positivo (parábola voltada para cima), o polinômio é não negativo fora do intervalo entre as raízes. Portanto a solução dessa parte é
x\le -1\quad\text{ou}\quad x\ge 6.

Passo 5

Resolver a segunda inequação quadrática \;x^{2}-5x+6\le 0.
Fatoramos:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
As raízes são x=2 e x=3.
Novamente o coeficiente de x^{2} é positivo, então o polinômio é não positivo entre as raízes. Portanto a solução dessa parte é
2\le x\le 3.

Passo 6

Agora juntamos as soluções das duas partes usando a união (porque a condição original era “ou”):
  • da primeira parte: \;(-\infty,-1]\cup[6,\infty),
  • da segunda parte: \;[2,3].
Unindo tudo obtemos a solução final da inequação original:
(-\infty,-1]\cup[2,3]\cup[6,\infty).

Resposta

\left(-\infty,-1\right]\cup\left[2,3\right]\cup\left[6,\infty\right)

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