Resolva as inequações a seguir.
(0,01)^2 x^2+1 >=(0,001)^3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação exponencial (0,01)^2 x^2+1 >= (0,001)^3 x. O conteúdo é ‘inequação exponencial com base menor que 1’. Vamos precisar usar a monotonicidade da função exponencial e expressar essas potências em base 10.

Passo 2

Observando que 0,01 = 10^-2 e 0,001 = 10^-3, reescrevemos os dois lados em base 10:
(0,01)^2x^2+1 = (10^-2)^2x^2+1 = 10^-2(2x^2+1) = 10^-4x^2 -2
(0,001)^3x = (10^-3)^3x = 10^-9x

Passo 3

Como a função f(t)=10^t é crescente (base maior que 1), a desigualdade 10^-4x^2 -2 >= 10^-9x equivale a
-4x^2 -2 >= -9x

Passo 4

Reorganizando a inequação para forma padrão:
-4x^2 +9x -2 >= 0
Multiplicando por -1 (inverte o sentido):
4x^2 -9x +2 <= 0

Passo 5

Calculamos as raízes do polinômio 4x^2 -9x +2. O discriminante é De, logo as raízes são
x = 9 pm 78
ou seja x1 = tfrac14 e x2 = 2. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e a região onde 4x^2 -9x +2 <= 0 é o intervalo entre as raízes:
x in [tfrac14, 2]

Resposta

x \in [\tfrac{1}{4}, 2]

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