Resolva as inequações a seguir em \mathbb{R} :
(3 x+3) \cdot(-2 x+4)>0

Passo 1

O problema pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
(3x+3)\cdot(-2x+4) > 0.
Informações dadas:
\; (3x+3) e \;(-2x+4) são fatores lineares (polinômios de 1º grau).
A desigualdade é estrita ( >\!0), ou seja, valores que tornam o produto igual a \,0 não são permitidos.
O domínio natural aqui é todo \mathbb{R} (não há divisão por zero nem raiz par de expressão variável).

Passo 2

Encontremos os pontos onde cada fator se anula (esses pontos são as fronteiras das regiões em que o sinal do produto pode mudar).
Resolver 3x+3=0.
Isolando x:
3x = -3 \quad\Rightarrow\quad x = -1.
Resolver -2x+4=0.
Isolando x:
-2x = -4 \quad\Rightarrow\quad x = 2.
Portanto, os pontos críticos são x=-1 e x=2.

Passo 3

Explicação conceitual (aula rapidinha e prática):
Quando temos um produto de fatores maior que zero, isto é, (\text{fator}_1)\cdot(\text{fator}_2)>0, isso significa que os dois fatores têm o mesmo sinal: ou ambos positivos ou ambos negativos. Se tivéssemos uma constante multiplicativa negativa fatorando, ao dividi-la do outro lado da desigualdade o sentido da desigualdade se inverte (regra: ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo, invertemos o sinal).

Passo 4

Podemos simplificar a expressão fatorando constantes:
(3x+3)\cdot(-2x+4) = 3(x+1)\cdot(-2)(x-2) = -6\,(x+1)(x-2).
Agora a inequação fica
-6\,(x+1)(x-2) > 0.
Dividindo ambos os lados por -6 (número negativo), invertemos o sinal da desigualdade:
(x+1)(x-2) < 0.
Então o problema equivalente é achar x tais que o produto (x+1)(x-2) seja negativo.

Passo 5

Análise de sinais (método do quadro de sinais, explicado passo a passo):
Os zeros de (x+1)(x-2) são x=-1 e x=2. Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:
(-\infty,-1),\quad (-1,2),\quad (2,\infty).
Em cada intervalo, os sinais de (x+1) e (x-2) são constantes. Vamos testar um ponto em cada intervalo.
  • Para x=-2 (no intervalo (-\infty,-1)):
    x+1 = -2+1 = -1 \;(\text{negativo}),\qquad x-2 = -2-2 = -4 \;(\text{negativo}).
    Produto: negativo \times negativo = positivo. Logo (x+1)(x-2)>0 neste intervalo, mas queremos <0. Então não serve.
  • Para x=0 (no intervalo (-1,2)):
    x+1 = 0+1 = 1 \;(\text{positivo}),\qquad x-2 = 0-2 = -2 \;(\text{negativo}).
    Produto: positivo \times negativo = negativo. Logo (x+1)(x-2)<0 neste intervalo — serve.
  • Para x=3 (no intervalo (2,\infty)):
    x+1 = 3+1 = 4 \;(\text{positivo}),\qquad x-2 = 3-2 = 1 \;(\text{positivo}).
    Produto: positivo \times positivo = positivo. Logo (x+1)(x-2)>0 aqui — não serve.
Também lembramos que as raízes x=-1 e x=2 deixam o produto igual a \,0, e como a desigualdade original é estrita ( >\!0), esses pontos não podem ser incluídos na solução.

Passo 6

Combinando tudo: o único intervalo onde (x+1)(x-2)<0 é (-1,2). Voltando à inequação original isso corresponde exatamente aos x que satisfazem (3x+3)(-2x+4)>0.
Você já tá quase lá — isso é um padrão que aparece muito em provas: achar zeros dos fatores, montar o quadro de sinais e decidir onde o produto é positivo/negativo. Respira, treina mais um pouquinho e vai dar certo!

Resposta

x\in(-1,2)

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