Resolva as inequações a seguir em
:
Passo 1
O problema pede para resolver em
a inequação
Informações dadas:
e
são fatores lineares (polinômios de 1º grau).
A desigualdade é estrita ( ), ou seja, valores que tornam o produto igual a
não são permitidos.
O domínio natural aqui é todo (não há divisão por zero nem raiz par de expressão variável).
A desigualdade é estrita (
O domínio natural aqui é todo
Passo 2
Encontremos os pontos onde cada fator se anula (esses pontos são as fronteiras das regiões em que o sinal do produto pode mudar).
Resolver
.
Isolando :
Isolando
Resolver
.
Isolando :
Isolando
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Explicação conceitual (aula rapidinha e prática):
Quando temos um produto de fatores maior que zero, isto é, , isso significa que os dois fatores têm o mesmo sinal: ou ambos positivos ou ambos negativos. Se tivéssemos uma constante multiplicativa negativa fatorando, ao dividi-la do outro lado da desigualdade o sentido da desigualdade se inverte (regra: ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo, invertemos o sinal).
Quando temos um produto de fatores maior que zero, isto é,
Passo 4
Podemos simplificar a expressão fatorando constantes:
Agora a inequação fica
Dividindo ambos os lados por
(número negativo), invertemos o sinal da desigualdade:
Então o problema equivalente é achar
tais que o produto
seja negativo.
Passo 5
Análise de sinais (método do quadro de sinais, explicado passo a passo):
Os zeros de são
e
. Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:
Os zeros de
Em cada intervalo, os sinais de
e
são constantes. Vamos testar um ponto em cada intervalo.
-
Para
(no intervalo ): Produto: negativonegativo positivo. Logo neste intervalo, mas queremos . Então não serve. -
Para
(no intervalo ): Produto: positivonegativo negativo. Logo neste intervalo — serve. -
Para
(no intervalo ): Produto: positivopositivo positivo. Logo aqui — não serve.
Também lembramos que as raízes
e
deixam o produto igual a
, e como a desigualdade original é estrita (
), esses pontos não podem ser incluídos na solução.
Passo 6
Combinando tudo: o único intervalo onde
é
. Voltando à inequação original isso corresponde exatamente aos
que satisfazem
.
Você já tá quase lá — isso é um padrão que aparece muito em provas: achar zeros dos fatores, montar o quadro de sinais e decidir onde o produto é positivo/negativo. Respira, treina mais um pouquinho e vai dar certo!