Resolva as inequações.
(1-x)\left(x^{2}+x+1\right) \leq 0

Passo 1

A gente precisa resolver a inequação de produto
(1 - x)\,(x^2 + x + 1) \le 0.
O conteúdo é teste de sinais em produto de fatores. Vamos estudar o sinal de cada fator pra depois montar a solução.

Passo 2

Analisando o segundo fator \;x^2 + x + 1:
Calculemos o discriminante
\Delta = 1^2 - 4\cdot1\cdot1 = 1 - 4 = -3 < 0.
Como \Delta<0 e o coeficiente de x^2 é positivo, temos
x^2 + x + 1 > 0 \quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Agora o primeiro fator \;1 - x:
Ele se anula em x=1. Para ver o sinal:
  • Se x<1, então 1-x>0.
  • Se x>1, então 1-x<0.
  • Em x=1, 1-x=0.

Passo 4

Como o produto
(1 - x)\,(x^2 + x + 1)
é o sinal de 1-x (já que x^2+x+1>0 sempre), a condição
(1 - x)\,(x^2 + x + 1) \le 0
é equivalente a
1 - x \le 0 \;\Longleftrightarrow\; x \ge 1.

Resposta

\boxed{[1,\infty)}

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