Resolva as inequações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação quadrática $(x+1000)^{2} \ge x+1000$. O conteúdo envolve manipular uma expressão quadrática, colocar tudo em um lado e usar análise de sinais para encontrar onde ela é não negativa.
Passo 2
Primeiro, movemos todos os termos para o mesmo lado da desigualdade:
Essa manobra permite tratar a inequação como um produto ou soma de fatores.
Passo 3
Para simplificar a expressão, fazemos a substituição $t = x+1000$. Assim a inequação vira:
ou seja
Passo 4
Agora estudamos o sinal do produto \t(t-1)\. As raízes são \t = 0\ e \t = 1\. Num estudo de sinais de produto de dois fatores, temos \t(t-1) \ge 0\ quando t \le 0\ ou t \ge 1\.
Passo 5
Voltando à variável original x, como \t = x+1000\, as condições ficam:
- \x + 1000 \le 0\ ⇒ \x \le -1000\
- \x + 1000 \ge 1\ ⇒ \x \ge -999\
Unindo esses resultados, obtemos a solução final.