Resolva as inequações: (x+1000)^2 >= x+1000

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação quadrática $(x+1000)^{2} \ge x+1000$. O conteúdo envolve manipular uma expressão quadrática, colocar tudo em um lado e usar análise de sinais para encontrar onde ela é não negativa.

Passo 2

Primeiro, movemos todos os termos para o mesmo lado da desigualdade:
(x+1000)^2 - (x+1000) >= 0
Essa manobra permite tratar a inequação como um produto ou soma de fatores.

Passo 3

Para simplificar a expressão, fazemos a substituição $t = x+1000$. Assim a inequação vira:
t = x+1000
ou seja
t^2 - t >= 0

Passo 4

Agora estudamos o sinal do produto \t(t-1)\. As raízes são \t = 0\ e \t = 1\. Num estudo de sinais de produto de dois fatores, temos \t(t-1) \ge 0\ quando t \le 0\ ou t \ge 1\.

Passo 5

Voltando à variável original x, como \t = x+1000\, as condições ficam:
  • \x + 1000 \le 0\ ⇒ \x \le -1000\
  • \x + 1000 \ge 1\ ⇒ \x \ge -999\
    Unindo esses resultados, obtemos a solução final.

Resposta

Exercícios relacionados