Resolva as inequações exponenciais:
Passo 1
O enunciado dá a inequação
Informações dadas:
- A incógnita é
. - A base do lado direito é
. - A base do lado esquerdo está escrita como
(decimal com vírgula), ou seja, é . Vou usar explicitamente que . - Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Transformo a inequação substituindo
por
, já que são a mesma quantidade:
Agora um lembrete importante (explicação didática): a função exponencial
tem comportamento diferente conforme a base
.
- Se
, então é crescente: . - Se
, então é decrescente: .
Por que isso? Uma demonstração simples usa logaritmo: tomando logaritmo natural em ambos os lados,
Se
então
. Ao dividir por
(número negativo), a desigualdade inverte e obtemos
. Isso é a base do raciocínio.
No nosso caso, a base é
, que satisfaz
. Logo a função é decrescente e podemos comparar os expoentes invertendo a desigualdade:
Passo 3
Resolvendo a desigualdade entre os expoentes passo a passo:
Começo com
Subtraio
de ambos os lados:
Agora somo
a ambos os lados:
Divido ambos os lados por
(divisão por número positivo não inverte a desigualdade):
Passo 4
Verificação rápida (para ganhar confiança):
- Se
, então os expoentes são e , dá igualdade, logo a desigualdade é satisfeita. - Se
, expoentes e ; como a base é menor que 1, é verdade porque . - Se
, expoentes e ; como a desigualdade é falsa (de fato ).
Tudo consistente com
.