Resolva as inequações exponenciais:
(0,1)^{5 x-1} \leq\left(\frac{1}{10}\right)^{2 x+8}

Passo 1

O enunciado dá a inequação
(0,1)^{5x-1} \leq \left(\frac{1}{10}\right)^{2x+8}.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • A base do lado direito é \frac{1}{10}.
  • A base do lado esquerdo está escrita como 0,1 (decimal com vírgula), ou seja, é 0{,}1. Vou usar explicitamente que 0{,}1=\frac{1}{10}.
  • Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Transformo a inequação substituindo 0{,}1 por \frac{1}{10}, já que são a mesma quantidade:
\left(\frac{1}{10}\right)^{5x-1} \le \left(\frac{1}{10}\right)^{2x+8}.
Agora um lembrete importante (explicação didática): a função exponencial a^t tem comportamento diferente conforme a base a.
  • Se a>1, então a^t é crescente: a^u \le a^v \iff u \le v.
  • Se 0<a<1, então a^t é decrescente: a^u \le a^v \iff u \ge v.
Por que isso? Uma demonstração simples usa logaritmo: tomando logaritmo natural em ambos os lados,
a^u \le a^v \iff \ln(a^u) \le \ln(a^v) \iff u\ln a \le v\ln a.
Se 0<a<1 então \ln a<0. Ao dividir por \ln a (número negativo), a desigualdade inverte e obtemos u \ge v. Isso é a base do raciocínio.
No nosso caso, a base é \frac{1}{10}, que satisfaz 0<\frac{1}{10}<1. Logo a função é decrescente e podemos comparar os expoentes invertendo a desigualdade:
5x-1 \ge 2x+8.

Passo 3

Resolvendo a desigualdade entre os expoentes passo a passo:
Começo com
5x-1 \ge 2x+8.
Subtraio 2x de ambos os lados:
5x-2x -1 \ge 8 \quad\Rightarrow\quad 3x-1 \ge 8.
Agora somo 1 a ambos os lados:
3x \ge 9.
Divido ambos os lados por 3 (divisão por número positivo não inverte a desigualdade):
x \ge 3.

Passo 4

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • Se x=3, então os expoentes são 5\cdot3-1=14 e 2\cdot3+8=14, dá igualdade, logo a desigualdade é satisfeita.
  • Se x=4, expoentes 19 e 16; como a base é menor que 1, (1/10)^{19} \le (1/10)^{16} é verdade porque 19\ge16.
  • Se x=2, expoentes 9 e 12; como 9<12 a desigualdade (1/10)^9 \le (1/10)^{12} é falsa (de fato (1/10)^9 > (1/10)^{12}).
Tudo consistente com x\ge 3.

Resposta

[3,\infty)

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