Resolva:
\int x \sqrt{x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
\int x \sqrt{x-1}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função a integrar é x\sqrt{x-1}.
  • A operação pedida é uma integral indefinida (ou seja, encontrar uma antiderivada mais uma constante de integração C).
  • Observação sobre domínio: a raiz quadrada \sqrt{x-1} está bem definida para x\ge 1 se usarmos a raiz real principal; a primitiva que encontrarmos valerá nas regiões onde a integranda estiver definida (por exemplo x>1).
    Não vou resolver ainda aqui; só identifiquei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Ideia para simplificar: usar uma substituição que elimine o termo x-1 dentro da raiz. Tome a substituição
u = x-1.
Explique o que isso significa: u é uma nova variável que representa exatamente a quantidade dentro da raiz. Agora calcule o diferencial de u:
du = dx.
Também escrevemos x em função de u:
x = u+1.
Essa mudança de variável troca a integral em x por uma integral em u.

Passo 3

Reescrevendo a integranda com u:
x\sqrt{x-1}\,dx = (u+1)\sqrt{u}\,du.
Agora desenvolva o produto usando potências: \sqrt{u}=u^{1/2}, logo
(u+1)u^{1/2} = u^{1/2}\cdot u + u^{1/2}\cdot 1 = u^{3/2}+u^{1/2}.
Portanto a integral fica
\int x\sqrt{x-1}\,dx = \int \bigl(u^{3/2}+u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 4

Vamos integrar termo a termo usando a regra das potências para integrais. Lembrete da regra (fórmula):
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C,\qquad \text{para } n\neq -1.
Aqui temos dois termos com n=\tfrac{3}{2} e n=\tfrac{1}{2}.
Integre o primeiro termo u^{3/2}:
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{3/2+1}}{3/2+1} = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}\,u^{5/2}.
Integre o segundo termo u^{1/2}:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,u^{3/2}.
Somando as duas primitivas:
\int \bigl(u^{3/2}+u^{1/2}\bigr)\,du = \frac{2}{5}\,u^{5/2} + \frac{2}{3}\,u^{3/2} + C.

Passo 5

Volte para a variável original usando u=x-1. Substituindo:
\frac{2}{5}\,u^{5/2} + \frac{2}{3}\,u^{3/2} + C = \frac{2}{5}\,(x-1)^{5/2} + \frac{2}{3}\,(x-1)^{3/2} + C.
Podemos deixar assim ou fatorar (x-1)^{3/2} para uma forma mais compacta. Fatorando:
\frac{2}{5}(x-1)^{5/2} + \frac{2}{3}(x-1)^{3/2} = \frac{2}{15}(x-1)^{3/2}\bigl(3(x-1)+5\bigr).
Simplificando dentro do parêntese:
3(x-1)+5 = 3x+2,
logo uma forma compacta e bonita é
\frac{2}{15}(3x+2)(x-1)^{3/2}+C.

Passo 6

Verificação rápida (checagem): derivando \dfrac{2}{15}(3x+2)(x-1)^{3/2} pelo produto e simplificando volta-se a obter x\sqrt{x-1}. Isso confirma que a primitiva está correta (detalhe da diferenciação omitido aqui para não alongar demais, mas pode ser feito se quiser).

Resposta

\frac{2}{15}(3x+2)(x-1)^{3/2}+C

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