Resolva:
Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função a integrar é
. - A operação pedida é uma integral indefinida (ou seja, encontrar uma antiderivada mais uma constante de integração
). - Observação sobre domínio: a raiz quadrada
está bem definida para se usarmos a raiz real principal; a primitiva que encontrarmos valerá nas regiões onde a integranda estiver definida (por exemplo ).
Não vou resolver ainda aqui; só identifiquei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Ideia para simplificar: usar uma substituição que elimine o termo
dentro da raiz. Tome a substituição
Explique o que isso significa:
é uma nova variável que representa exatamente a quantidade dentro da raiz. Agora calcule o diferencial de
:
Também escrevemos
em função de
:
Essa mudança de variável troca a integral em
por uma integral em
.
Passo 3
Reescrevendo a integranda com
:
Agora desenvolva o produto usando potências:
, logo
Portanto a integral fica
Passo 4
Vamos integrar termo a termo usando a regra das potências para integrais. Lembrete da regra (fórmula):
Aqui temos dois termos com
e
.
Integre o primeiro termo
:
Integre o segundo termo
:
Somando as duas primitivas:
Passo 5
Volte para a variável original usando
. Substituindo:
Podemos deixar assim ou fatorar
para uma forma mais compacta. Fatorando:
Simplificando dentro do parêntese:
logo uma forma compacta e bonita é
Passo 6
Verificação rápida (checagem): derivando
pelo produto e simplificando volta-se a obter
. Isso confirma que a primitiva está correta (detalhe da diferenciação omitido aqui para não alongar demais, mas pode ser feito se quiser).